Кут , вписані кіл є той , який має свою вершину на окружності і її промені січні або по дотичним до неї. Як наслідок, вписаний кут завжди буде опуклим або плоским.
На малюнку 1 зображено кілька кутів, вписаних у відповідні окружності. Кут ∠EDF вписаний, маючи вершину D на окружності та два промені =.
У рівнобедреному трикутнику кути, прилеглі до основи, рівні, тому ∠BCO = ∠ABC = α. З іншого боку ∠COB = 180º - β.
Розглядаючи суму внутрішніх кутів трикутника COB, маємо:
α + α + (180º - β) = 180º
З чого випливає, що 2 α = β, або що еквівалентно: α = β / 2. Це узгоджується з тим, що говориться в теоремі 1: міра вписаного кута становить половину центрального кута, якщо обидва кути піддаються одній і тій же акорді.
Демонстрація 1b
Малюнок 6. Допоміжна конструкція, щоб показати, що α = β / 2. Джерело: Ф. Сапата з Геогебра.
У цьому випадку ми маємо вписаний кут ∠ABC, в якому центр O кола знаходиться в межах кута.
Щоб довести теорему 1 у цьому випадку, намалюйте допоміжний промінь) .push ({});
Аналогічно, центральні кути β 1 і β 2 примикають до зазначеного променя. Таким чином , ми маємо ту ж ситуацію , як показують 1a, так що можна сказати , що α 2 = β 2 /2 і & alpha ; 1 = β 1 /2. Як α = α 1 + α 2 і β = β 1 + β 2 має , отже , що α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / два.
На закінчення α = β / 2, що відповідає теоремі 1.
- Теорема 2
Малюнок 7. Вписані кути рівної міри α, тому що вони піддають однакові дуги A⌒C. Джерело: Ф. Сапата з Геогебра.
- Теорема 3
Вписані кути, що подають акорди однакової міри, рівні.
Малюнок 8. Вписані кути, які подають акорди рівної міри, мають рівну міру β. Джерело: Ф. Сапата з Геогебра.
Приклади
- Приклад 1
Покажіть, що вписаний кут, який піддає діаметру, - це прямий кут.
Рішення
Центральний кут ∠AOB, пов'язаний з діаметром, - це кут площини, міра якого 180º.
Згідно з теоремою 1, кожен кут, вписаний у окружність, що піддає однаковій хорді (в даному випадку діаметр), має як міру половину центрального кута, що піддає тій же акорді, який для нашого прикладу становить 180º / 2 = 90º.
Малюнок 9. Кожен вписаний кут, який піддається діаметру, - це прямий кут. Джерело: Ф. Сапата з Геогебра.
- Приклад 2
Лінія (BC), дотична від A до окружності C, визначає вписаний кут ∠BAC (див. Рисунок 10).
Перевірте, чи виконана теорема 1 вписаних кутів.
Малюнок 10. Вписаний кут BAC та його центральний опуклий кут AOA. Джерело: Ф. Сапата з Геогебра.
Рішення
Кут ∠BAC вписаний, оскільки його вершина знаходиться на окружності, а його сторони [AB) і [AC) дотичні до окружності, тому визначення вписаного кута виконується.
З іншого боку, вписаний кут ∠BAC піддає дузі A⌒A, яка є всією окружністю. Центральний кут, який піддає дузі A⌒A, - це опуклий кут, міра якого - повний кут (360º).
Вписаний кут, що підлягає всій дузі, вимірює половину відповідного центрального кута, тобто ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
З усього вищесказаного підтверджено, що цей конкретний випадок відповідає теоремі 1.
Список літератури
- Бальдор. (1973). Геометрія та тригонометрія. Центральноамериканське культурне видавництво.
- EA (2003). Елементи геометрії: з вправами та геометрією циркуля. Університет Медельїна.
- Геометрія 1-го ESO. Кути по окружності. Відновлено з: edu.xunta.es/
- Вся наука. Запропоновані вправи кутів по колу. Відновлено з: francesphysics.blogspot.com
- Вікіпедія. Вписаний кут. Відновлено з: es.wikipedia.com