ПРИНЦИП АРХІМЕДА: ФОРМУЛА, ДОКАЗ, ДОДАТКИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Принцип Архімеда говорить, що тіло, занурене повністю або частково, отримує вертикальну силу вгору, що називається поштовхом, що еквівалентно вазі об'єму рідини, витісненої тілом.

Деякі предмети плавають у воді, деякі тонуть, а деякі частково занурюються. Щоб затопити пляжний м’яч потрібно докласти зусиль, тому що відразу ж сприймається та сила, яка намагається повернути його на поверхню. Натомість металева сфера швидко просідає.

Малюнок 1. Плаваючі кулі: принцип дії Архімеда. Джерело: Pixabay.

З іншого боку, занурені предмети здаються легшими, тому виникає сила, яку чинить рідина, яка протистоїть вазі. Але це не завжди може повністю компенсувати гравітацію. І хоча це більше видно з водою, гази також здатні виробляти цю силу на занурені в них предмети.

Історія

Архімед Сіракузський (287-212 до н. Е.) Був тим, хто, мабуть, відкрив цей принцип, будучи одним з найбільших вчених в історії. Кажуть, що цар Ієро II Сіракузький наказав золотаря зробити нову корону для нього, за що він подарував йому певну кількість золота.

Архімед

Коли король отримав нову корону, це була правильна вага, але він підозрював, що золотар обдурив його, додавши срібло замість золота. Як він міг це довести, не руйнуючи корону?

Ієро покликав Архімеда, чия репутація вченого була добре відома, щоб допомогти йому вирішити проблему. Легенда стверджує, що Архімед занурився у ванну, коли знайшов відповідь, і така його емоція, що він біг голий вулицями Сіракузи, щоб шукати царя, кричав "еврика", що означає "я знайшов його".

Що знайшов Архімед? Ну а під час прийняття ванни рівень води у ванні піднявся, коли він увійшов, це означає, що занурене тіло витісняє певний об'єм рідини.

І якщо він занурив корону у воду, вона також повинна витіснити певний об'єм води, якщо корона була зроблена із золота та іншого обсягу, якщо вона була виготовлена ​​зі сплаву зі сріблом.

Формула

Сила підйому, про яку йдеться за принципом Архімеда, відома як гідростатична тяга або плавуча сила, і, як ми вже говорили, вона еквівалентна вазі об'єму рідини, витісненої тілом при зануренні.

Зміщений об'єм дорівнює об'єму зануреного об'єкта, повністю або частково. Оскільки маса чого-небудь мг, а маса рідини щільність x об'єм, що позначає величину тяги як B, математично ми маємо:

B = m _рідини xg = щільність рідини x Занурений об'єм x гравітація

B = ρ _рідина x V _{занурений} xg

Де грецька літера ρ ("rho") позначає щільність.

Видима вага

Вага предметів обчислюється за допомогою звичного вираження мг, проте при зануренні у воду все стає легше.

Очевидною вагою предмета є те, що він має, коли він занурений у воду або іншу рідину і знаючи це, об'єм неправильного предмета, такого як корона короля Ієро, можна отримати, як буде видно нижче.

Для цього його повністю занурюють у воду і прикріплюють до струни, прикріпленої до динамометра - приладу, оснащеного пружиною, що використовується для вимірювання сил. Чим більша вага предмета, тим більше подовження пружини, яке вимірюється за шкалою, передбаченою в апараті.

Малюнок 2. Видима вага зануреного предмета. Джерело: підготував Ф. Сапата.

Застосовуючи другий закон Ньютона, знаючи, що об’єкт знаходиться в спокої:

ΣF _y = B + T - W = 0

Уявна вага W _a дорівнює напрузі в рядку T:

Оскільки тяга компенсує вагу, оскільки частина рідини знаходиться в спокої, то:

З цього виразу випливає, що тяга обумовлена ​​різницею тиску між верхньою поверхнею циліндра і нижньою поверхнею. Оскільки W = мг = ρ рідина. V. g, він повинен:

Який саме вираз для тяги, згаданого в попередньому розділі.

Програми

Принцип Архімеда з'являється у багатьох практичних програмах, серед яких ми можемо назвати:

- Аеростатична куля. Яка через свою середню щільність меншу, ніж навколишнє повітря, плаває в ній завдяки силі тяги.

- Кораблі. Корпус кораблів важчий за воду. Але якщо враховувати весь корпус плюс повітря всередині, відношення загальної маси до об'єму менше, ніж у води, і саме тому кораблі плавають.

- рятувальні жилети. Споруджені з легких і пористих матеріалів, вони здатні плавати, оскільки співвідношення маси і об’єму нижче, ніж у води.

- Поплавок для закриття крана наповнення резервуара для води. Це сфера, наповнена повітрям великого об'єму, яка плаває зверху води, через що натискання - помножене на важільний ефект - закриває кришку наповнювального крана резервуара для води, коли вона досягла рівня. всього.

Приклади

Приклад 1

Легенда стверджує, що король Ієро дав золотару певну кількість золота, щоб зробити корону, але недовірливий монарх подумав, що золотар може обдурити, помістивши в корону метал, менш цінний, ніж золото. Але як він міг знати, не руйнуючи корону?

Король довірив проблему Архімеду, і цей, шукаючи рішення, відкрив його знаменитий принцип.

Припустимо, корона важить 2,10 кг-ф у повітрі та 1,95 кг-ф, коли повністю занурена у воду. У цьому випадку є чи немає обману?

Малюнок 5. Діаграма вільного тіла корони цапли. Джерело: підготував Ф. Сапата

Діаграма сил показана на малюнку вище. Цими силами є: вага P коронки, тяга E і натяг T мотузки, що звисає зі шкали.

Відомо P = 2,10 кг-f і T = 1,95 кг-f, залишається визначити величину тяги E :

З іншого боку, за принципом Архімеда, тяга E еквівалентна вазі води, витісненої з простору, займаного коронкою, тобто щільність води, менша за об'єм коронки за рахунок прискорення сили тяжіння:

Звідки можна обчислити об'єм крони:

Щільність крони є коефіцієнтом між масою коронки з води та її об'ємом:

Щільність чистого золота можна визначити аналогічною процедурою, і результат - 19300 кг / м ^ 3.

Порівнюючи дві щільності, видно, що корона - це не чисте золото!

Приклад 2

На підставі даних та результату прикладу 1 можна визначити, скільки золота було викрадено золотарем у тому випадку, якщо частина золота була замінена на срібло, яке має щільність 10 500 кг / м ^ 3.

Назвемо щільність крони ρc, ρo - щільність золота і ρ _p - щільність срібла.

Загальна маса крони:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Загальний об'єм корони - це об'єм срібла плюс об'єм золота:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Підстановка в рівнянні для маси:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

Тобто об'єм золота Vo, який містить корону загального об'єму V, становить:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) =…

… = 0,00015 м ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 м ^ 3

Щоб знайти вагу золота, яку містить корона, множимо Vo на густину золота:

Мо = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 кг

Оскільки маса корони становить 2,10 кг, ми знаємо, що 0,94858 кг золота було вкрадено золотарем і замінено на срібло.

Розв’язані вправи

Вправа 1

Величезна куля з гелієм здатна утримувати людину в рівновазі (не піднімаючись вниз чи вниз).

Припустимо, що вага людини плюс кошик, мотузки та повітряна куля становить 70 кг. Який об’єм гелію необхідний для цього? Скільки має бути повітряна куля?

Рішення

Будемо вважати, що тяга виробляється головним чином за обсягом гелію і що тяга решти компонентів дуже мала в порівнянні з гелієм, який займає набагато більший об'єм.

У цьому випадку знадобиться об'єм гелію, здатного забезпечити тягу 70 кг + вага гелію.

Малюнок 6. Діаграма вільного тіла балона, наповненого гелієм. Джерело: підготував Ф. Сапата.

Тяга - це добуток об’єму гелію, що перевищує щільність гелію і прискорення сили тяжіння. Цей поштовх повинен компенсувати вагу гелію плюс вагу всіх інших.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

з якого робиться висновок, що V = M / (Da - Dh)

V = 70 кг / (1,25 - 0,18) кг / м ^ 3 = 65,4 м ^ 3

Тобто при атмосферному тиску потрібно 65,4 м ^ 3 гелію для підйому.

Якщо припустити сферичну земну кулю, ми можемо знайти її радіус із співвідношення між об'ємом і радіусом кулі:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Звідки R = 2,49 м. Іншими словами, знадобиться балон діаметром 5 м, наповнений гелієм.

Вправа 2

Матеріали з меншою щільністю, ніж вода, плавають у ній. Припустимо, у вас полістирол (біла пробка), дерево та кубики льоду. Їх щільність у кг на кубічний метр становить відповідно: 20, 450 та 915.

Знайдіть, яка частка загального об'єму знаходиться поза водою і наскільки вона висока над поверхнею води, приймаючи 1000 кілограмів на кубічний метр як щільність останньої.

Рішення

Плавучість виникає, коли вага тіла дорівнює тязі за рахунок води:

E = M⋅g

Малюнок 7. Діаграма вільного тіла частково зануреного об'єкта. Джерело: підготував Ф. Сапата.

Вага - це щільність тіла Dc, помножена на його об'єм V і прискорення сили тяжіння g.

Тяга - це маса рідини, витісненої за принципом Архімеда, і обчислюється шляхом множення щільності D води на занурений об'єм V 'і прискорення сили тяжіння.

Це є:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Що означає, що занурена об’ємна частка дорівнює коефіцієнту між щільністю тіла та густиною води.

Тобто видатна частка обсягу (V '' / V) є

Якщо h - висота перегину, а L сторона куба, об'ємна частка може бути записана як

Тож результати для замовлених матеріалів такі:

Полістирол (біла пробка):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% від води

Деревина:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% від води

Лід:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% поза водою

Список літератури

1. Bauer, W. 2011. Фізика для інженерії та наук. Том 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Механіка рідин. Основи та застосування. Перше видання. McGraw Hill.
3. Фігероа, Д. (2005). Серія: Фізика для науки та техніки. Том 4. Рідини та термодинаміка. Під редакцією Дугласа Фігероа (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Механіка рідин і гідравліка. McGraw Hill.
5. Рекс, А. 2011. Основи фізики. Пірсон. 239-263.
6. Тіппенс, П. 2011. Фізика: поняття та програми. 7-е видання. McGraw Hill.