УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ: ФОРМУЛА ТА РІВНЯННЯ, ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ - ДУДИ - 2024

Умовна ймовірність , є можливістю виникнення певної події, за умови , що інші відбуваються як умова. Ця додаткова інформація може (або не може) змінити уявлення про те, що щось станеться.

Наприклад, ми можемо запитати себе: "Яка ймовірність того, що сьогодні буде дощ, враховуючи, що два дні не дощило?" Подія, для якої ми хочемо дізнатись про ймовірність, - це те, що сьогодні дощить, а додаткова інформація, яка обумовила б відповідь, - це те, що "не дощило два дні".

Малюнок 1. Імовірність того, що сьогодні буде дощ, враховуючи, що вчора дощив, також є прикладом умовної ймовірності. Джерело: Pixabay.

Нехай простір ймовірностей складається з Ω (простий простір), ℬ (випадкові події) і P (ймовірність кожної події), плюс події A і B, що належать ℬ.

Умовна ймовірність того, що A виникає, враховуючи, що стався B, який позначається як P (A│B), визначається так:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A і B) / P (B)

Де: P (A) - ймовірність виникнення A, P (B) - ймовірність події B і відрізняється від 0, а P (A∩B) - ймовірність перетину між A і B, тобто , ймовірність того, що відбудуться обидві події (спільна ймовірність).

Це вираження теореми Байєса, застосованої до двох подій, запропонованої в 1763 році англійським богословом і математиком Томасом Байесом.

Властивості

-Уся умовна ймовірність становить від 0 до 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Імовірність того, що подія А відбудеться, враховуючи, що ця подія відбулася, очевидно, є 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Якщо дві події є виключними, тобто подіями, які не можуть відбутися одночасно, тоді умовна ймовірність того, що одна з них трапиться, дорівнює 0, оскільки перетин нульовий:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Якщо B є підмножиною A, то умовна ймовірність також дорівнює 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Важливо

P (A│B), як правило, не дорівнює P (B│A), тому ми повинні бути обережними, щоб не змінювати події при знаходженні умовної ймовірності.

Загальне правило множення

Багато разів потрібно знайти спільну ймовірність P (A∩B), а не умовну ймовірність. Тоді через наступну теорему маємо:

P (A∩B) = P (A і B) = P (A│B). P (B)

Теорему можна розширити на три події A, B і C:

P (A∩B∩C) = P (A і B і C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

А також для різних подій, таких як A ₁ , A ₂ , A ₃ і більше, це можна виразити так:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Якщо це події, що відбуваються послідовно і через різні етапи, зручно впорядкувати дані в діаграмі або таблиці. Це полегшує візуалізацію варіантів досягнення потрібної ймовірності.

Прикладами є схема дерева та таблиця непередбачених ситуацій. З одного з них можна побудувати інший.

Приклади умовної ймовірності

Давайте розглянемо деякі ситуації, в яких ймовірність однієї події змінюється появою іншої:

- Приклад 1

У солодкому магазині продаються два види тортів: полуничний та шоколадний. Реєструючи уподобання 50 клієнтів обох статей, було визначено такі значення:

-27 жінок, з яких 11 вважають за краще полуничний торт і 16 шоколадних.

-23 чоловіки: 15 вибирають шоколад і 8 полуницю.

Імовірність того, що клієнт вибере шоколадний торт, можна визначити, застосувавши правило Лапласа, згідно з яким ймовірність будь-якої події така:

P = кількість сприятливих подій / загальна кількість подій

У цьому випадку з 50 клієнтів загалом 31 віддає перевагу шоколаду, тому ймовірність буде P = 31/50 = 0,62. Тобто 62% клієнтів віддають перевагу шоколадному пирогу.

Але чи було б інакше, якби клієнт - жінка? Це випадок умовної ймовірності.

Таблиця надзвичайних ситуацій

Використовуючи таку таблицю надзвичайних ситуацій, підсумки легко відображаються:

Потім спостерігаються сприятливі випадки і застосовується правило Лапласа, але спочатку ми визначаємо події:

-B - подія "жіночий замовник".

-А - це жінка, яка надає перевагу шоколадному пирогу.

Переходимо до стовпчика з написом «жінки» і там бачимо, що загальна 27.

Тоді сприятливий випадок шукають у "шоколадному" ряду. Є 16 таких подій, тому шукана ймовірність є безпосередньо:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% жінок-клієнтів віддають перевагу шоколадному пирогу.

Це значення відповідає, коли ми протиставляємо його первісно заданому визначенню умовної ймовірності:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Ми обов'язково використовуємо правило Лапласа та значення таблиці:

P (B) = 27/50

P (A і B) = 16/50

Де P (A і B) - ймовірність того, що клієнт віддає перевагу шоколаду і є жінкою. Тепер значення замінені:

P (A│B) = P (A і B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

І доведено, що результат той самий.

- Приклад 2

У цьому прикладі застосовується правило множення. Припустимо, у магазині є штани трьох розмірів: маленькі, середні та великі.

У партії із загальною кількістю 24 штанів, з яких 8 кожного розміру, і всі змішані, яка б ймовірність витягнути два з них і щоб вони були обидва маленькими?

Зрозуміло, що ймовірність зняття невеликих штанів при першій спробі становить 8/24 = 1/3. Тепер другий видобуток є умовним для першої події, оскільки при знятті пари штанів вже не 24, а 23. І якщо маленькі штани зняти, то 7 замість 8.

Подія А натягує одні маленькі штани, витягнувши ще одну з першої спроби. І подія B - це перша з маленькими штанами. Таким чином:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Нарешті, використовуючи правило множення:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Вправа вирішена

У дослідженні пунктуальності комерційних авіарейсів доступні такі дані:

-P (B) = 0,83 - це ймовірність того, що літак вчасно злетить.

-P (A) = 0,81, - це ймовірність посадки вчасно.

-P (B∩A) = 0,78 - це ймовірність того, що рейс прибуває вчасно, вилітаючи вчасно.

Просять обчислити:

а) Яка ймовірність того, що літак приземлиться вчасно, враховуючи, що він злетів вчасно?

б) Чи вищезгадана ймовірність збігається з ймовірністю, яку ви виїхали вчасно, якщо вам вдалося приземлитися вчасно?

в) І нарешті: яка ймовірність того, що він приїде вчасно, враховуючи, що він не пішов вчасно?

Малюнок 2. Пунктуальність комерційних рейсів є важливою, оскільки затримки приносять збитки мільйонам доларів. Джерело: Pixabay.

Рішення для

Для відповіді на запитання використовується визначення умовної ймовірності:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A і B) / P (B) = 0,78 /0,83 = 0,9398

Рішення b

У цьому випадку події у визначенні обмінюються:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A і B) / P (A) = 0,78 /0,81 = 0,9630

Зауважимо, що ця ймовірність дещо відрізняється від попередньої, як ми вказували раніше.

Розв’язання c

Ймовірність не піти вчасно 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, ми будемо називати це P (B ^C ), тому що це доповнює подія, щоб знятись вчасно. Умовна шукана ймовірність:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A і B ^C ) / P (B ^C )

З іншої сторони:

P (A∩B ^C ) = P (посадка вчасно) - P (посадка вчасно і зліт вчасно) = 0,81-0,78 = 0,03

У цьому випадку шукана умовна ймовірність:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Список літератури

1. Canavos, G. 1988. Імовірність та статистика: Застосування та методи. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Імовірність та статистика для інженерії та науки. 8-й. Видання. Візьміть на себе.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Вірогідність. McGraw Hill.
4. Обрегон, І. 1989. Теорія ймовірності. Редакційна Лімуса.
5. Walpole, R. 2007. Вірогідність та статистика для інженерії та наук. Пірсон.
6. Вікіпедія. Умовна ймовірність. Відновлено з: es.wikipedia.org.