ЩО ТАКЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ МЕЖІ? (ВПРАВИ ВИРІШЕНІ) - МАТЕМАТИКА - 2024

В тригонометричних межах обмеження функцій таким чином, що ці функції освічені тригонометричні функції.

Існує два визначення, які необхідно знати, щоб зрозуміти, як обчислити тригонометричну межу.

Ці визначення:

- Обмеження функції «f», коли «x» прагне до «b»: воно складається з обчислення значення, до якого f (x) наближається, як «x» підходить до «b», не досягаючи «b» ».

- Тригонометричні функції: тригонометричні функції - це синусоїда, косинус і дотичні функції, позначені відповідно sin (x), cos (x) і tan (x).

Інші тригонометричні функції отримані з трьох вищезгаданих функцій.

Межі функцій

Для уточнення поняття межі функції ми перейдемо до показу кількох прикладів з простими функціями.

- Межа f (x) = 3, коли "x" прагне до "8", дорівнює "3", оскільки функція завжди постійна. Скільки б не було значення "х", значення f (x) завжди буде "3".

- Межа f (x) = x-2, коли «x» має тенденцію до «6», є «4». З тих пір, коли "x" наближається до "6", тоді "x-2" підходить "6-2 = 4".

- Межа g (x) = x², коли "x" має тенденцію до "3", дорівнює 9, оскільки коли "x" наближається до "3", тоді "x²" наближається до "3² = 9" .

Як видно з попередніх прикладів, обчислення ліміту складається з оцінки значення, до якого «x» тяжіє у функції, а результатом буде значення межі, хоча це справедливо лише для безперервних функцій.

Чи є складніші межі?

Відповідь - так. Наведені вище приклади є найпростішими прикладами обмежень. У обчислювальних книгах основними обмежувальними вправами є ті, що породжують невизначеність типу 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 і (∞) ^ 0.

Ці вирази називаються невизначеностями, оскільки вони є виразами, які не мають сенсу математично.

Крім того, залежно від функцій, що беруть участь у вихідному ліміті, результат, отриманий при вирішенні невизначеностей, може бути різним у кожному конкретному випадку.

Приклади простих тригонометричних меж

Для вирішення обмежень завжди дуже корисно знати графіки функцій, що займаються. Графіки функцій синуса, косинуса і дотику показані нижче.

Деякі приклади простих тригонометричних меж:

- Обчисліть межу sin (x), коли «x» прагне до «0».

При перегляді графіка видно, що якщо "x" наближається до "0" (як зліва, так і з правого боку), то синус-графік також наближається до "0". Тому межа sin (x), коли "x" має тенденцію до "0", є "0".

- Обчисліть межу cos (x), коли «x» прагне до «0».

Спостерігаючи графік косинуса, можна побачити, що коли "x" близький до "0", то графік косинусу близький до "1". Це означає, що межа cos (x), коли "x" має тенденцію до "0", дорівнює "1".

Обмеження може існувати (бути числом), як і в попередніх прикладах, але також може трапитися так, що воно не існує, як показано в наступному прикладі.

- Межа tan (x), коли «x» прагне до «Π / 2» зліва, дорівнює «+ ∞», як видно на графіку. З іншого боку, межа tan (x), коли "x" прагне до "-Π / 2" праворуч, дорівнює "-∞".

Тригонометричні межі тотожностей

Дві дуже корисні тотожності при обчисленні тригонометричних меж:

- Межа «sin (x) / x», коли «x» має тенденцію до «0», дорівнює «1».

- Межа «(1-cos (x)) / x», коли «x» має тенденцію до «0», дорівнює «0».

Ці особи використовуються дуже часто, коли у вас є якась невизначеність.

Розв’язані вправи

Вирішіть для наступних меж, використовуючи описані вище ідентичності.

- Обчисліть межу «f (x) = sin (3x) / x», коли «x» має тенденцію до «0».

Якщо функцію "f" оцінити на "0", буде отримана невизначеність типу 0/0. Тому ми повинні намагатися вирішити цю невизначеність, використовуючи описані тотожності.

Єдина відмінність між цією межею і тотожністю - це число 3, яке з’являється в межах функції синуса Щоб застосувати ідентичність, функцію «f (x)» необхідно переписати таким чином «3 * (sin (3x) / 3x)». Тепер і аргумент синус, і знаменник рівні.

Отже, коли "x" має тенденцію до "0", використання ідентичності дає "3 * 1 = 3". Тому межа f (x), коли "x" має тенденцію до "0", дорівнює "3".

- Обчисліть межу «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», коли «x» прагне до «0».

Коли "x = 0" заміщено g (x), отримується невизначеність типу ∞-∞. Для її розв'язання спочатку віднімають дроби, що дає "(1-cos (x)) / x".

Тепер, застосовуючи другу тригонометричну тотожність, ми маємо, що межа g (x), коли «x» має тенденцію до «0», дорівнює 0.

- Обчисліть межу «h (x) = 4tan (5x) / 5x», коли «x» прагне до «0».

Знову ж таки, якщо h (x) оцінено на "0", вийде невизначеність типу 0/0.

Переписання як (5x) як sin (5x) / cos (5x) призводить до h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Використовуючи, що межа 4 / cos (x), коли "x" має тенденцію до "0", дорівнює "4/1 = 4", і виходить перша тригонометрична тотожність, що межа h (x), коли "x" має тенденцію a "0" дорівнює "1 * 4 = 4".

Спостереження

Тригонометричні межі не завжди легко вирішити. У цій статті були показані лише основні приклади.

Список літератури

1. Флемінг, W., & Varberg, DE (1989). Математика дорахунку. Prentice Hall PTR.
2. Флемінг, W., & Varberg, DE (1989). Докалькульна математика: підхід до вирішення проблем (2, Ілюстрована редакція). Мічиган: Prentice Hall.
3. Флемінг, W., & Varberg, D. (1991). Алгебра та тригонометрія з аналітичною геометрією. Пірсон освіта.
4. Ларсон, Р. (2010). Попередній розрахунок (8 ред.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Плоска аналітична геометрія. Меріда - Венесуела: Редакція Венезолана Каліфорнія
6. Перес, CD (2006). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Обчислення (дев. Ред.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Диференціальне обчислення з ранніми трансцендентними функціями для науки та техніки (видання другого видання). Гіпотенуза.
9. Скотт, Каліфорнія (2009). Декартова плоска геометрія, частина: Аналітичні коніки (1907) (перевидання ред.). Джерело блискавки
10. Салліван, М. (1997). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.