Больцано теорема стверджує , що якщо функція неперервна в кожній точці замкнутого інтервалу і задовольняється , що образ «а» і «б» (під функцією) мають протилежні знаки, то буде по крайней мере , одна точка " c "у відкритому інтервалі (a, b) таким чином, що функція, оцінена в" c ", буде дорівнює 0.
Цю теорему озвучив філософ, богослов і математик Бернард Болцано в 1850 році. Цей вчений, народжений в сучасній Чехії, був одним з перших математиків в історії, який зробив формальне підтвердження властивостей безперервних функцій.
Пояснення
Теорема Больцано відома також як теорема проміжних значень, яка допомагає визначати конкретні значення, зокрема нулі, певних реальних функцій реальної змінної.
У заданій функції f (x) продовжується - тобто f (a) і f (b) з'єднані кривою-, де f (a) нижче осі x (вона від'ємна), а f (b) - над віссю x (вона позитивна), або навпаки, графічно на осі x буде точка відсікання, яка буде представляти проміжне значення «c», яке буде між «a» і «b», і значення f (c) буде дорівнює 0.
Графічно аналізуючи теорему Больцано, можна побачити, що для кожної безперервної функції f, визначеної на проміжку часу, де f (a) * f (b) менше 0, буде принаймні один корінь «c» цієї функції інтервалу (a, b).
Ця теорема не встановлює кількість точок у тому відкритому інтервалі, вона лише стверджує, що існує принаймні 1 бал.
Демонстрація
Щоб довести теорему Больцано, без втрати загальності припускаємо, що f (a) <0 і f (b)> 0; Таким чином, між "a" і "b" може бути багато значень, для яких f (x) = 0, але потрібно показати лише одне.
Почнемо з оцінки f у середині точки (a + b) / 2. Якщо f ((a + b) / 2) = 0, то доказ закінчується тут; в іншому випадку тоді f ((a + b) / 2) є позитивним або негативним.
Вибирається одна з половин інтервалу, така, що ознаки функції, оцінені в крайностях, є різними. Цей новий інтервал буде.
Тепер, якщо f, що оцінюється в середині точки, не дорівнює нулю, виконується та сама операція, що і раніше; тобто вибирається половина цього інтервалу, яка відповідає умові ознак. Нехай це буде новий інтервал.
Якщо ви продовжите цей процес, у вас буде дві послідовності {an} і {bn}, такі:
{an} збільшується і {bn} зменшується:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Якщо обчислити довжину кожного інтервалу, вам доведеться:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Тому межа, коли n наближається до нескінченності (bn-an), дорівнює 0.
Використовуючи, що {an} збільшується і обмежується, а {bn} зменшується і обмежується, ми маємо значення «c» таке, що:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Межа а є "с", а межа {bn} також "с". Тому, враховуючи будь-який δ> 0, завжди є "n" такий, що інтервал міститься в інтервалі (c-δ, c + δ).
Тепер треба показати, що f (c) = 0.
Якщо f (c)> 0, то оскільки f є безперервним, існує ε> 0 такий, що f позитивний протягом усього інтервалу (c - ε, c + ε). Однак, як було сказано вище, існує значення "n" таке, що f змінює вхід і, крім того, міститься всередині (c - ε, c + ε), що є суперечливістю.
Якщо f (c) <0, то оскільки f є безперервним, існує ε> 0 такий, що f негативний протягом усього інтервалу (c - ε, c + ε); але існує значення "n" таке, що f змінює вхід. Виявляється, він міститься всередині (c - ε, c + ε), що також є протиріччям.
Тому f (c) = 0 і це ми хотіли довести.
Для чого це?
З його графічної інтерпретації теорема Болцано використовується для пошуку коренів або нулів у безперервній функції, через бісекцію (апроксимацію), що є поступовим методом пошуку, який завжди ділить інтервали на 2.
Потім приймається інтервал або там, де відбувається зміна знаку, і процес повторюється, поки інтервал не буде меншим і меншим, щоб можна було наблизитися до потрібного значення; тобто до значення, яке функція складає 0.
Підсумовуючи це, щоб застосувати теорему Больцано і, таким чином, знайти корені, обмежити нулі функції або дати розв'язання рівнянню, виконуються наступні кроки:
- Перевіряється, чи f - неперервна функція на проміжку.
- Якщо інтервал не заданий, потрібно знайти там, де функція безперервна.
- Перевіряється, якщо крайності інтервалу дають протилежні знаки при оцінці у f.
- Якщо протилежні знаки не отримані, інтервал необхідно розділити на два підінтервали за допомогою середини.
- Оцініть функцію в середній точці та переконайтесь, що гіпотеза Больцано виконана, де f (a) * f (b) <0.
- Залежно від ознаки (позитивної чи негативної) знайденої величини, процес повторюється з новим підінтервалом до тих пір, поки вищезазначена гіпотеза не буде виконана.
Розв’язані вправи
Вправа 1
Визначте, чи функція f (x) = x 2 - 2 має хоча б одне дійсне рішення на проміжку.
Рішення
Маємо функцію f (x) = x 2 - 2. Оскільки вона є многочлена, це означає, що вона є безперервною в будь-якому інтервалі.
Його просять визначити, чи має він в інтервалі реальне рішення, тому тепер необхідно лише замінити крайні значення інтервалу у функції, щоб знати їх знак і знати, чи вони виконують умову різності:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (мінус)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (додатне)
Тому знак f (1) ≠ знак f (2).
Це забезпечує наявність принаймні однієї точки "с", що належить інтервалу, в якому f (c) = 0.
У цьому випадку значення "с" можна легко обчислити так:
х 2 - 2 = 0
х = ± √2.
Таким чином, √2 ≈ 1,4 належить інтервалу і відповідає тому, що f (√2) = 0.
Вправа 2
Покажіть, що рівняння x 5 + x + 1 = 0 має принаймні одне реальне рішення.
Рішення
Зазначимо спочатку, що f (x) = x 5 + x + 1 - поліноміальна функція, що означає, що вона є неперервною для всіх дійсних чисел.
У цьому випадку інтервал не задається, тому значення слід вибирати інтуїтивно, бажано близько 0, щоб оцінити функцію та знайти зміни знаку:
Якщо ви використовуєте інтервал, ви повинні:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Оскільки немає ознак зміни, процес повторюється з іншим інтервалом.
Якщо ви використовуєте інтервал, ви повинні:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
У цьому інтервалі відбувається зміна знаку: знак f (-1) ≠ знак f (0), що означає, що функція f (x) = x 5 + x + 1 має принаймні один реальний корінь «c» в інтервалі, таким, що f (c) = 0. Іншими словами, правда, що x 5 + x + 1 = 0 має в інтервалі реальне рішення.
Список літератури
- Бронштейн I, СК (1988). Посібник з математики для інженерів та студентів. . Редакція MIR
- Джордж, А. (1994). Математика та розум. Oxford University Press.
- Ілін V, PE (1991). Математичний аналіз. У трьох томах. .
- Хесус Гомес, ФГ (2003). Вчителі середньої освіти. Том ІІ. МАД.
- Матеос, ML (2013). Основні властивості аналізу в R. Editores, 20 грудня.
- Піскунов, Н. (1980). Диференційне та інтегральне числення. .
- Sydsaeter K, HP (2005). Математика для економічного аналізу. Фелікс Варела.
- Вільям Х. Баркер, штат Південна Кароліна (штат). Постійна симетрія: від Евкліда до Кляйна. Американський математичний соц.