ТЕОРЕМА ПРО ІСНУВАННЯ ТА УНІКАЛЬНІСТЬ: ДОКАЗ, ПРИКЛАДИ ТА ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Теорема існування та єдиності встановлює необхідні і достатні умови для диференціального рівняння першого порядку з заданим початковим умовою, щоб мати рішення , і для цього рішення , щоб бути єдиним.

Однак теорема не дає жодної техніки чи вказівки, як знайти таке рішення. Теорема існування та унікальності також поширюється на диференціальні рівняння вищого порядку з початковими умовами, що відоме як задача Коші.

Малюнок 1. Показано диференціальне рівняння з початковою умовою та її рішенням. Теорема існування та унікальності гарантує, що це єдино можливе рішення.

Формальне твердження про існування і унікальність теореми полягає в наступному:

"Для диференціального рівняння y '(x) = f (x, y) з початковою умовою y (a) = b існує принаймні одне рішення у прямокутній області площини XY, що містить точку (a, b), якщо f (x, y) є безперервним у цій області. І якщо часткова похідна f по відношенню до y: g = ∂f / ∂y неперервна в тій же прямокутній області, то рішення є унікальним у сусідстві з точкою (a, b), що міститься в області безперервності fy г. "

Корисність цієї теореми полягає насамперед у тому, щоб знати, які області площини XY, в яких може існувати рішення, а також, знаючи, чи знайдений рішення є єдино можливим, чи є інші.

Зауважимо, що якщо умова унікальності не виконується, теорема не може передбачити, скільки рішень має загальна проблема Коші: можливо, це один, два чи більше.

Доказ існування і унікальності теореми

Малюнок 2. Чарльзу Емілю Пікарду (1856-1941) приписують одне з перших доказів теореми існування та унікальності. Джерело: Wikimedia Commons.

Для цієї теореми відомо два можливі докази, одне з них - доказ Чарльза Еміля Пікарда (1856-1941), а інше - Джузеппе Пеано (1858-1932) за мотивами творів Августина Луї Коші (1789-1857) .

Примітно, що найяскравіші математичні уми ХІХ століття брали участь у доведенні цієї теореми, тому можна зрозуміти, що жодне з двох не є простим.

Для формального доведення теореми необхідно спершу встановити ряд більш досконалих математичних концепцій, таких як функції типу Ліпшица, простори Банаха, теореми існування Каретодорі та кілька інших, які виходять за межі статті.

Значна частина диференціальних рівнянь, які обробляються у фізиці, мають відношення до неперервних функцій у регіонах, що цікавлять, тому ми обмежимося тим, що показуємо, як теорема застосовується у простих рівняннях.

Приклади

- Приклад 1

Розглянемо наступне диференціальне рівняння з початковою умовою:

y '(x) = - y; при y (1) = 3

Чи є рішення цієї проблеми? Це єдино можливе рішення?

Відповіді

В першу чергу оцінюється існування рішення диференціального рівняння і те, що воно також відповідає початковій умові.

У цьому прикладі f (x, y) = - і умова існування вимагає знати, чи f (x, y) є безперервним в області площини XY, яка містить точку координат x = 1, y = 3.

Але f (x, y) = - y є афінною функцією, яка є безперервною в області дійсних чисел і існує у всьому діапазоні дійсних чисел.

Тому робиться висновок, що f (x, y) є неперервним в R ² , тому теорема гарантує існування принаймні одного рішення.

Знаючи це, необхідно оцінити, чи рішення є унікальним чи, навпаки, є більше одного. Для цього необхідно обчислити часткову похідну f відносно змінної y:

Тоді g (x, y) = -1, що є постійною функцією, яка також визначена для всіх R ² і також є неперервною там. Звідси випливає, що теорема існування та унікальності гарантує, що ця початкова цінність має унікальне рішення, хоча вона не говорить нам, що це таке.

- Приклад 2

Розглянемо наступне звичайне диференціальне рівняння першого порядку з початковою умовою:

y '(x) = 2√y; і (0) = 0.

Чи існує рішення y (x) цієї проблеми? Якщо так, визначте, чи є один чи більше.

Відповісти

Розглянемо функцію f (x, y) = 2√y. Функція f визначена лише для y≥0, оскільки ми знаємо, що у від'ємного числа немає реального кореня. Крім того, f (x, y) є безперервним у верхній половині площини R ^2, включаючи вісь X, тому існування і теорія унікальності гарантує щонайменше одне рішення у зазначеній області.

Тепер початкова умова x = 0, y = 0 знаходиться на межі області розчину. Тоді беремо часткову похідну f (x, y) відносно y:

∂f / ∂y = 1 / √y

У цьому випадку функція не визначається для у = 0, саме там, де є початкова умова.

Що нам говорить теорема? Це говорить нам про те, що хоча ми знаємо, що у верхній половинній площині осі X є хоча б одне рішення, включаючи вісь X, оскільки умова унікальності не виконується, але немає гарантії, що буде унікальне рішення.

Це означає, що в області безперервності f (x, y) може бути одне чи більше розв’язків. І як завжди, теорема не говорить нам, якими вони могли бути.

Розв’язані вправи

- Вправа 1

Розв’яжіть задачу Коші в прикладі 1:

y '(x) = - y; при y (1) = 3.

Знайдіть функцію y (x), яка задовольняє диференціальне рівняння та початкову умову.

Рішення

У Прикладі 1 було визначено, що ця проблема має рішення та є також унікальною. Щоб знайти рішення, перше, що слід зазначити, це те, що це диференціальне рівняння першої ступеня роздільних змінних, яке записується так:

Розділяючи між і на обидва члени для поділу змінних у нас:

Неозначений інтеграл застосовується в обох членах:

Розв’язуючи невизначені інтеграли, ми маємо:

де C - константа інтеграції, що визначається початковою умовою:

Замінивши значення C і переставляючи його, залишається:

Застосування наступної властивості логарифмів:

Вищенаведений вираз можна переписати так:

Експоненціальна функція з базою e в обох членах застосовується для отримання:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Що еквівалентно:

y = 3e e ^-x

Це унікальне рішення рівняння y '= -y з y (1) = 3. Графік цього рішення показаний на рисунку 1.

- Вправа 2

Знайдіть два рішення проблеми, поставленої в Прикладі 2:

y '(x) = 2√ (y); і (0) = 0.

Рішення

Це також рівняння відокремлених змінних, яке, записане в диференційній формі, виглядає так:

dy / √ (y) = 2 dx

Беручи невизначений інтеграл у обох членів залишається:

2 √ (y) = 2 x + C

Оскільки ми знаємо, що y≥0 в області розчину маємо:

y = (x + C) ²

Але оскільки початкова умова x = 0, y = 0 має бути виконана, то константа C дорівнює нулю і залишається наступне рішення:

y (x) = x ² .

Але це рішення не є унікальним, функція y (x) = 0 також є рішенням поставленої задачі. Теорема існування та унікальності, застосована до цієї проблеми у Прикладі 2, вже передбачала, що може бути більше одного рішення.

Список літератури

1. Коддінгтон, граф А .; Левінсон, Норман (1955), Теорія звичайних диференціальних рівнянь, Нью-Йорк: МакГрау-Хілл.
2. Енциклопедія математики. Теорема Коші-Ліпшица. Відновлено: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des приближень послідовно aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Т. 116, 1894, стор. 454–457. Відновлено з: gallica.bnf.fr.
4. Вікіпедія. Метод послідовних наближень Пікарда. Відновлено з: es.wikipedia.com
5. Вікіпедія. Теорема Пікарда-Ліндельофа. Відновлено з: es.wikipedia.com.
6. Зілл, Д. 1986. Елементарні диференціальні рівняння з додатками.