ТЕОРЕМА ТЕВЕНІНА: ІЗ ЧОГО СКЛАДАЄТЬСЯ, ДОДАТКИ ТА ПРИКЛАДИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Thevenin «и теорема стверджує , що схема з клемами A і B може бути заміщена одним еквівалентними що складаються з джерела і послідовного опору, значення якого дає ту ж різниця потенціалів між А і В і той же опорі , як в вихідної схемою .

Ця теорема була відома в 1883 році французьким інженером Леоном Чарльзом Тевеніним, але стверджується, що її було виголошено на тридцять років раніше німецьким фізиком Германом фон Гельмгольцом.

Малюнок 1. Теорема Тевеніна. Джерело: саморобний

Його корисність полягає в тому, що, навіть коли початкова схема є складною або невідомою, для навантаження або опору, що розміщується між клемами A і B, простий еквівалентний схема Тевеніна поводиться так само, як і вихідний .

Як розраховується еквівалентна напруга покроково?

Різниця напруги або потенціалу еквівалентної схеми можна отримати наступними способами:

- Експериментально

Отримання еквівалентної напруги Тевеніна

Якщо це пристрій або обладнання, що знаходиться у "чорній коробці", різниця потенціалів між клемами A і B вимірюється вольтметром або осцилографом. Дуже важливо, щоб між клемами A і B. не було навантаження або опору.

Вольтметр або осцилоскоп не представляє навантаження на клеми, оскільки обидва пристрої мають дуже великий опір (в ідеалі нескінченний), і це було б так, як якщо б клеми A і B були без навантаження. Напруга або напруга, отримані таким чином, - еквівалентна напруга Тевеніна.

Отримання еквівалентного імпедансу Тевеніна

Для отримання еквівалентного опору в результаті експериментального вимірювання відомий опір розміщується між клемами A і B, а перепад напруги або сигнал напруги вимірюється за допомогою осцилографа.

Від падіння напруги через відомий опір між клемами можна отримати струм, що протікає через нього.

Добуток струму, отриманого з еквівалентним опором плюс падіння напруги, виміряний у відомій опорі, дорівнює еквівалентному раніше отриманому напругу Тевеніна. З цієї рівності очищається еквівалентний імпеданс Тевеніна.

- Розв’язування схеми

Розрахунок еквівалентної напруги Тевеніна

По-перше, будь-яке навантаження або опір відключається від клем A і B.

Як відомо схема, для пошуку напруги на клемах застосовується теорія сітки або закони Кірхгофа. Ця напруга буде еквівалентом Тевеніна.

Розрахунок еквівалентного імпедансу Тевеніна

Щоб отримати еквівалентний опір, перейдіть до:

- Замініть джерела напруги вихідної ланцюга короткими замиканнями "нульовий опір", а джерела струму вихідної ланцюга відкритими "нескінченним опором".

- Тоді еквівалентний опір обчислюється, дотримуючись правил серійних опорів і паралельних імпедансів.

Застосування теореми Тевеніна (частина I)

Ми застосуємо теорему Тевеніна для розв’язання деяких схем. У цій першій частині ми розглянемо ланцюг, який має лише джерела напруги та резистори.

Приклад 1a (розрахунок еквівалентного напруження поетапно)

На малюнку 2 показана схема, що знаходиться в небесній коробці, що має дві батареї з електрорушійною силою V1 і V2 відповідно та резистори R1 і R2, схема має клеми A і B, в яких може бути підключений навантаження.

Малюнок 2. Приклад 1 теореми Тевеніна. Джерело: саморобний

Мета - знайти еквівалентну схему Тевена, тобто визначити значення Vt і Rt еквівалентної ланцюга. Застосуйте такі значення: V1 = 4V, V2 = 1V, R1 = 3Ω, R2 = 6Ω і R = 1Ω.

Покрокове рішення

Крок 1

Ми визначатимемо напругу на клемах A і B, коли на них не розміщується навантаження.

Крок 2

Розв'язувана схема складається з єдиної сітки, по якій циркулює струм I, який ми прийняли позитивним за годинниковою стрілкою.

Крок 3

Ми проходимо через сітку, починаючи з нижнього лівого кута. Шлях веде до наступного рівняння:

V1 - I * R1 - I * R2 - V2 = 0

Крок 4

Ми вирішуємо для струму сітки I і отримуємо:

I = (V1 -V2) / (R1 + R2) = (4V - 1V) / (3Ω + 6Ω) = ⅓ A

Крок 5

За допомогою сітчастого струму ми можемо визначити різницю напруги між А і В, яка:

Vab = V1 - I * R1 = 4V - ⅓ A * 3Ω = 3V

Іншими словами, еквівалентна напруга Тевеніна: Vt = 3V.

Крок 6 (еквівалентний опір Тевеніна)

Тепер переходимо до обчислення еквівалентного опору Тевеніна, для якого і, як було сказано раніше, джерела напруги замінюються кабелем.

У цьому випадку ми маємо лише два резистори паралельно, тому еквівалентний опір Тевеніна:

Rt = (R1 * R2) / (R1 + R2) = (3Ω * 6Ω) / (3Ω + 6Ω) = 2Ω

Приклад 1b (струм у навантаженні з використанням еквівалента Тевеніна)

Підключіть як навантаження до клем A і B опір R = 1Ω до еквівалентної ланцюга і знайдіть струм, що протікає через згадане навантаження.

Рішення

Коли опір R підключено до еквівалентної схеми Тевеніна, ми маємо просту ланцюг, яка складається з джерела Vt, опору Rt послідовно з опором R.

Ми назвемо Ic струмом, що протікає через навантаження R, так що сітчасте рівняння виглядає так:

Vt - Ic * Rt - Ic * R = 0

звідси випливає, що Ic задається:

Ic = Vt / (Rt + R) = 3V / (2Ω + 1Ω) = 1 A

Доведення теореми Тевеніна

Щоб переконатися, що теорема Тевеніна є правдивою, підключіть R до вихідної схеми і знайдіть струм, що протікає через R, застосувавши закон сітки до отриманого кола.

Отримана схема залишається, а її сітчасті рівняння залишаються такими, як показано на наступному малюнку:

Малюнок 3. Сітчасті струми. (Власна розробка)

Додавши рівняння сітки, можна знайти струм сітки I1 як функцію струму I2. Потім воно заміщене у другому сітчастому рівнянні і рівняння залишається I2 як єдине невідоме. У наступній таблиці показані операції.

Малюнок 4. Деталі операцій. (Власна розробка)

Потім значення опору і напруги джерел підміняються, отримуючи числове значення струму сітки I2.

Малюнок 5. Деталізація результатів. (Власна розробка)

Струм сітки I2 - це струм, що протікає через опір навантаження R, а знайдене значення 1 A повністю збігається з тим, що було знайдено раніше, з еквівалентною схемою Тевеніна.

Застосування теореми Тевеніна (частина II)

У цій другій частині теорема Тевеніна буде застосована в ланцюзі, що має джерела напруги, джерела струму та опори.

Приклад 2a (еквівалентний Тевеніновий опір)

Завдання полягає в тому, щоб визначити схему еквівалента Тевеніна, відповідну схемі, на наступному малюнку, коли клеми не мають опору 1 Ом, тоді встановлюється опір і визначається струм, що протікає через нього.

Рисунок 6. Приклад схеми 2. (Власна розробка)

Рішення

Щоб знайти еквівалентний опір, зніміть опір навантаження (у цьому випадку 1 Ом). Крім того, джерела напруги замінюються на коротке замикання, а джерела струму - на відкрите ланцюг.

Таким чином, схема, для якої буде обчислюватися еквівалентний опір, є наведеною нижче:

Рисунок 7. Деталі для розрахунку еквівалентного опору (Власна розробка)

Rab = (12Ω * 4Ω) / (12Ω + 4Ω) = 3Ω, що є еквівалентним опором Тевеніна (Rth).

Приклад 2b

Обчисліть еквівалентну напругу Тевеніна.

Рішення

Для обчислення еквівалентної напруги Тевена вважаємо наступну схему, в якій розмістимо струми в I1 та I2 у гілках, зазначених на наступному малюнку:

Малюнок 8. Деталі для розрахунку напруги Тевеніна. (Власна розробка)

На попередньому малюнку показано рівняння поточних вузлів та рівняння напруг при перетині зовнішньої сітки. З другого рівняння очищається струм I1:

I1 = 2 - I2 * (5/3)

Це рівняння заміщене в рівнянні вузлів:

I2 = 2 - (5/3) I2 + 2 ===> I2 (8/3) = 4 ===> I2 = 12/8 = 1,5 А

Це означає, що падіння напруги через резистор 4 Ом становить 6 вольт.

Коротше кажучи, напруга Тевеніна - Vth = 6 В.

Приклад 2c

Знайдіть еквівалентну схему і струм Тевеніна в резисторі навантаження.

Малюнок 9. Струм у навантаженні з еквівалентом Тевеніна. (Власна розробка)

Рішення

На попередньому малюнку показано еквівалентну схему Тевеніна з опором навантаження R. З рівняння напруги в сітці струм I, що протікає через опір навантаження R.

I = Vth / (Rth + R) = 6V / (3Ω + 1Ω) = 1,5 A

Застосування теореми Тевеніна (частина III)

У цій третій частині застосування теореми Тевеніна розглядається схема змінного струму, що містить джерело змінного напруги, конденсатор, індуктивність та опір.

Приклад 3

Мета полягає в тому, щоб знайти схему Тевеніна, еквівалентну наступній схемі:

Малюнок 10. Тевенін в ланцюзі змінного струму. (Власна розробка)

Рішення

Еквівалентний імпеданс відповідає конденсатору паралельно поєднанню послідовного опору та індуктивності.

Зворотний еквівалентний опір задається:

Zeq ^ -1 = (-5j) ^ - 1 + (5 + 5j) ^ - 1 = (1/5) j + ((1/10 + (1/10) j) = (1/10 + 3 / 10 j) Mho

І еквівалентний опір тоді буде:

Zeq = (1 - 3 j) Ом

Комплексний струм I може бути отриманий із сіткового рівняння:

50V∠0 - I (-5 j + 5 + 5j) = 50V∠0 - I * 5 = 0 ===> I = 10A ∠0

Тепер обчислюється падіння напруги в опорі плюс індуктивність, тобто напруга Vab, яке буде еквівалентним напрузі Тевеніна:

Vab = I * (5 + 5 j) Ω = 10A ∠0 * 5Ω∠45º = 50V∠45º

Іншими словами, еквівалентна напруга має однакове пікове значення вихідного джерела, але знаходиться на 45 градусах поза фазою: Vth = 50V∠45º

Список літератури

1. Підручники з електроніки, теорема Тевеніна. Відновлено з: electronics-tutorials.ws
2. Питання та відповіді теорії мережі. Теорема Тевеніна. Відновлено з: sanfoundry.com
3. Теорема Тевеніна. Покрокова процедура. Відновлено з: electrictechnology.org
4. Теорема Тевеніна. Приклад вирішено крок за кроком. Відновлено з: electricsimple.blogspot.com
5. Практикум з теорем Тевеніна та Нортона. Відновлено з: web.iit.edu
6. Вікіпедія. Теорема Тевеніна. Відновлено з: wikipedia.com