БІНОМІАЛЬНА ТЕОРЕМА: ДОКАЗ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Біном теорема є рівнянням , яке говорить про те , як розвивати вираз виду (а + б) ^п для деякого натурального числа п. Біноміал - це не що інше, як сума двох елементів, наприклад (a + b). Це також дозволяє нам знати за терміном, заданим a ^k b ^n-k, який коефіцієнт супроводжує його.

Ця теорема зазвичай приписується англійському винахіднику, фізику і математику серу Ісааку Ньютону; Однак були знайдені різні записи, які свідчать про те, що про його існування вже було відомо на Близькому Сході, близько 1000 року.

Комбінаторні номери

Біноміальна теорема математично повідомляє нам таке:

У цьому виразі a і b - дійсні числа, а n - натуральне число.

Перш ніж надати демонстрацію, давайте розглянемо деякі основні поняття, які необхідні.

Комбінаторне число або комбінації n в k виражаються так:

Ця форма виражає значення того, скільки підмножин з k елементів можна вибрати з набору n елементів. Його алгебраїчне вираження дано:

Подивимось приклад: припустимо, у нас є група з семи куль, з яких дві червоні, а решта - сині.

Ми хочемо знати, якими способами ми можемо їх розташувати підряд. Одним із способів може бути розміщення двох червоних на першій та другій позиціях, а решту кульок на інших позиціях.

Як і в попередньому випадку, ми могли дати червоним кулькам перше і останнє положення відповідно, а інші зайняти синіми кулями.

Тепер ефективним способом підрахувати, скільки способів розташувати кульки підряд - це за допомогою комбінаторних чисел. Ми можемо бачити кожну позицію як елемент наступного набору:

Тоді залишається лише вибрати підмножину з двох елементів, в якій кожен із цих елементів представляє позицію, яку займуть червоні кулі. Ми можемо зробити цей вибір відповідно до відносин, заданих:

Таким чином, ми маємо, що існує 21 спосіб замовити ці кульки.

Загальна ідея цього прикладу буде дуже корисною при доведенні біноміальної теореми. Давайте розглянемо конкретний випадок: якщо n = 4, маємо (a + b) ⁴ , що є не що інше як:

Коли ми розробляємо цей продукт, нам залишається сума термінів, отриманих шляхом множення одного елемента кожного з чотирьох факторів (a + b). Таким чином, ми матимемо умови, які будуть мати форму:

Якщо ми хотіли отримати термін у формі а ⁴ , нам просто треба помножити так:

Зауважте, що існує лише один спосіб отримати цей елемент; але що трапиться, якщо зараз шукати термін форми a ² b ² ? Оскільки "a" і "b" є дійсними числами і, отже, закон комутації дійсний, ми маємо, що один із способів отримати цей термін - це множення з членами, як зазначено стрілками.

Виконання всіх цих операцій зазвичай є дещо виснажливим, але якщо ми бачимо термін "a" як комбінацію, де ми хочемо знати, скільки способів ми можемо вибрати два "a" з набору чотирьох факторів, ми можемо використовувати ідею з попереднього прикладу. Отже, у нас є наступне:

Таким чином, ми знаємо, що в остаточному розширенні виразу (a + b) ⁴ ми матимемо рівно 6a ² b ² . Використовуючи ту ж ідею для інших елементів, ви повинні:

Потім додаємо вирази, отримані раніше, і маємо це:

Це формальний доказ для загального випадку, коли "n" - будь-яке натуральне число.

Демонстрація

Зауважимо, що члени, що залишилися при розширенні (a + b) ^n, мають вигляд a ^k b ^n-k , де k = 0,1,…, n. Використовуючи ідею попереднього прикладу, ми маємо спосіб вибрати «k» змінних «a» факторів «n»:

Вибираючи таким чином, ми автоматично вибираємо nk змінні "b". З цього випливає, що:

Приклади

Враховуючи (a + b) ⁵ , яким би був його розвиток?

За біноміальною теоремою маємо:

Біноміальна теорема є дуже корисною, якщо ми маємо вираз, в якому ми хочемо знати, що таке коефіцієнт конкретного члена, без необхідності повного розширення. Як приклад можна взяти таке невідоме: який коефіцієнт x ⁷ і ⁹ при розширенні (x + y) ¹⁶ ?

За біноміальною теоремою маємо, що коефіцієнт дорівнює:

Іншим прикладом може бути: який коефіцієнт x ⁵ і ⁸ при розширенні (3x-7y) ¹³ ?

Спочатку переписуємо вираз зручним способом; це:

Тоді, використовуючи біноміальну теорему, маємо, що шуканий коефіцієнт - це коли k = 5

Інший приклад використання цієї теореми полягає у доведенні деяких загальних тотожностей, таких як ті, які ми згадаємо далі.

Ідентифікація 1

Якщо «n» - натуральне число, маємо:

Для доказу використовуємо біноміальну теорему, де і «a», і «b» приймають значення 1. Тоді маємо:

Таким чином ми довели першу особистість.

Ідентифікація 2

Якщо "n" - натуральне число, то

За біноміальною теоремою маємо:

Ще одна демонстрація

Ми можемо зробити інше доказ біноміальної теореми, використовуючи індуктивний метод та тотожність Паскаля, що говорить нам, що, якщо «n» і «k» є додатними цілими числами, які задовольняють n ≥ k, то:

Індукційний доказ

Давайте спочатку подивимось, що індуктивна основа має місце. Якщо n = 1, маємо:

Дійсно, ми бачимо, що воно виконується. Тепер нехай n = j такий, що:

Ми хочемо побачити, що для n = j + 1 вірно, що:

Отже, ми повинні:

З гіпотези ми знаємо, що:

Потім, використовуючи властивість розподілу:

Згодом, розвиваючи кожне з підсумків, ми маємо:

Тепер, якщо ми групуємося зручним способом, ми маємо це:

Використовуючи особу pascal, ми маємо:

Наостанок зауважте, що:

Тому ми бачимо, що біноміальна теорема справедлива для всіх "n", що належать натуральним числам, і на цьому доведення закінчується.

Цікавості

Комбінаторне число (nk) також називають біноміальним коефіцієнтом, оскільки саме коефіцієнт виявляється при розвитку біноміального (a + b) ⁿ .

Ісаак Ньютон дав узагальнення цієї теореми для випадку, коли показник - дійсне число; Ця теорема відома як біноміальна теорема Ньютона.

Вже в давнину цей результат був відомий для конкретного випадку, коли n = 2. Цей випадок згадується в «Елементах Евкліда».

Список літератури

1. Джонсонбо Річард. Дискретна математика. PHH
2. Кеннет.H. Розен. Дискретна математика та її застосування. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Доктор наук Сеймур Ліпшуц та Марк Ліпсон. Дискретна математика. McGRAW-HILL.
4. Ральф П. Грімальді. Дискретна та комбінаторна математика. Аддісон-Уеслі Ібероамерикана
5. Зелена зірка Луїс. . Дискретна та комбінаторна математика Антропос