АКСІОМИ ЙМОВІРНОСТІ: ВИДИ, ПОЯСНЕННЯ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - ДУДИ - 2025

В аксіоми ймовірності математичні пропозиції , пов'язані з теорії ймовірностей, які не заслуговують докази. Аксіоми були встановлені в 1933 році російським математиком Андрієм Колмогоровим (1903-1987) в його Основах теорії ймовірностей і заклали основи математичного вивчення ймовірності.

При проведенні певного випадкового експерименту ξ, вибірковий простір E - це сукупність усіх можливих результатів експерименту, також званих подіями. Будь-яка подія позначається як A, а P (A) - це ймовірність її настання. Тоді Колмогоров встановив, що:

Малюнок 1. Аксіоми ймовірності дозволяють обчислити ймовірність попадання в ігрові випадки, такі як рулетка. Джерело: Pixabay.

- Аксіома 1 (негативність) : ймовірність того, що будь-яка подія А завжди є позитивною або нульовою, P (A) ≥0. Коли ймовірність події дорівнює 0, це називається неможливою подією.

- Аксіома 2 (визначеність) : щоразу, коли якась подія, що належить Е, її ймовірність виникнення дорівнює 1, яку ми можемо виразити як Р (Е) = 1. Це відоме як певна подія, оскільки при проведенні експерименту безумовно є результат.

- Аксіома 3 (додаток) : у випадку двох або більше несумісних подій два на два, які називаються A ₁ , A ₂ , A ₃ …, ймовірність того, що подія A ₁ плюс A ₂ плюс A ₃ відбудеться тощо послідовно, це сума ймовірностей кожної події окремо.

Це виражається як: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

Малюнок 2. Чудовий російський математик Андрій Колмогоров (1903-1987), який заклав основи аксіоматичної ймовірності. Джерело: Wikimedia Commons.

Приклад

Аксіоми ймовірності широко використовуються у безлічі застосувань. Наприклад:

Палець або такт кидають у повітря, і коли він падає на підлогу, є варіант посадки з точкою вгору (U) або з точкою вниз (D) (інші можливості ми не будемо розглядати). Зразок простору для цього експерименту складається з цих подій, тоді E = {U, D}.

Малюнок 3. В експерименті кидання такту є дві події різної ймовірності: приземлення з точкою вгору або в бік землі. Джерело: Pixabay.

Застосовуючи аксіоми, ми маємо:

Якщо однакова ймовірність приземлитися вгору або вниз, P (U) = P (D) = ½ (Аксіома 1). Однак конструкція і дизайн ескізу можуть зробити більш імовірним падіння так чи інакше. Наприклад, може бути так, що P (U) = ¾, тоді як P (D) = ¼ (Аксіома 1).

Зауважимо, що в обох випадках сума ймовірностей дає 1. Однак аксіоми не вказують, як призначити ймовірності, принаймні, не повністю. Але вони заявляють, що вони є числами від 0 до 1 і що, як і в цьому випадку, сума всіх дорівнює 1.

Способи призначення ймовірності

Аксіоми ймовірності не є методом призначення значення ймовірності. Для цього є три варіанти, сумісні з аксіомами:

Правило Лапласа

Кожній події присвоюється однакова ймовірність того, що трапиться, тоді ймовірність виникнення визначається як:

Наприклад, яка ймовірність витягнути туза з колоди французьких карт? Колода має 52 картки, по 13 з кожного костюма і 4 костюми. Кожен костюм має 1 туз, тому загалом є 4 тузи:

P (як) = 4/52 = 1/13

Правило Лапласа обмежується обмеженими пробними просторами, де кожна подія однаково вірогідна.

Відносна частота

Тут експеримент повинен бути повторюваним, оскільки метод заснований на проведенні великої кількості повторень.

Зробимо i повтори експерименту ξ, з яких ми виявимо, що n - це кількість разів, коли трапляється певна подія А, то ймовірність того, що ця подія має місце:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Де n / i - відносна частота події.

Визначення P (A) таким чином задовольняє аксіоми Колмогорова, але має недолік, що для того, щоб вірогідність була належною, потрібно виконати багато тестів.

Суб’єктивний метод

Людина або група людей можуть погодитися призначити ймовірність події, власним судженням. Цей метод має той недолік, що різні люди можуть призначити різні ймовірності одній і тій же події.

Вправа вирішена

В експерименті одночасно підкидаючи 3 чесних монети, отримайте ймовірність описаних подій:

а) 2 голови і хвіст.

б) 1 голова і два хвости

в) 3 хрести.

г) Принаймні 1 особа.

Рішення для

Голову позначають на С, а хвости на X. Але існує кілька способів отримати дві голови та хвіст. Наприклад, перші дві монети можуть висаджувати голови, а третя - висаджувати хвости. Або в першу можуть впасти голови, на другі хвости і на треті голови. І нарешті першими можуть бути хвости і голови, що залишилися.

Щоб відповісти на запитання, необхідно знати всі можливості, які описані в інструменті, який називається діаграмою дерева або деревом ймовірностей:

Рисунок 4. Схема дерева для одночасного кидання трьох чесних монет. Джерело: Ф. Сапата.

Імовірність того, що будь-яка монета буде головою, становить ½, те ж саме стосується і хвостів, оскільки монета чесна. Правий стовпець перераховує всі можливості, які має кидок, тобто пробний простір.

З простору вибірки вибираються комбінації, які відповідають на запитувану подію, оскільки порядок відображення облич не важливий. Є три сприятливі події: CCX, CXC та XCC. Ймовірність кожної події:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Те саме відбувається з подіями CXC та XCC, кожен з яких має 1/8 ймовірності того, що це станеться. Тому ймовірність отримати рівно 2 голови - це сума ймовірностей усіх сприятливих подій:

Р (двостороння) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Рішення b

Виявлення ймовірності того, що трапляються рівно два хрести є проблемою, аналогічною попередній, також є три сприятливі події, взяті з простору вибірки: CXX, XCX та XXC. Таким чином:

P (2 хрести) = 3/8 = 0,375

Розв’язання c

Інтуїтивно ми знаємо, що ймовірність отримати 3 хвости (або 3 голови) нижча. У цьому випадку шукана подія є XXX, наприкінці правого стовпця, ймовірність якої:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Рішення d

Потрібно отримати щонайменше 1 обличчя, це означає, що можуть вийти 3 обличчя, 2 обличчя або 1 обличчя. Єдина несумісна з цим подія - це та, в якій виходять 3 хвости, ймовірність яких становить 0,125. Тому шукана ймовірність:

Р (принаймні 1 голова) = 1 - 0,125 = 0,875.

Список літератури

1. Canavos, G. 1988. Імовірність та статистика: Застосування та методи. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Імовірність та статистика для інженерії та науки. 8-й. Видання. Візьміть на себе.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Вірогідність. McGraw Hill.
4. Обрегон, І. 1989. Теорія ймовірності. Редакційна Лімуса.
5. Walpole, R. 2007. Вірогідність та статистика для інженерії та наук. Пірсон.