ОРТОНОРМАЛЬНА ОСНОВА: ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ ТА ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Ортонормованій базис формується з допомогою векторів , перпендикулярних один одному , і модуль якої також 1 (одиничні вектори). Згадаймо, що база B у векторному просторі V визначається як набір лінійно незалежних векторів, здатних генерувати згаданий простір.

У свою чергу, векторний простір - це абстрактне математичне утворення, серед елементів якого є вектори, як правило, пов'язані з фізичними величинами, такими як швидкість, сила і переміщення, а також з матрицями, поліномами та функціями.

Малюнок 1. Ортонормальне підстава в площині. Джерело: Wikimedia Commons. Квартал.

Вектори мають три відмінні елементи: величину чи модуль, напрямок та сенс. Ортонормальна основа особливо корисна для представлення та оперування ними, оскільки будь-який вектор, що належить певному векторному простору V, може бути записаний як лінійна комбінація векторів, що утворюють ортонормальну основу.

Таким чином аналітично виконуються операції між векторами, такими як додавання, віднімання та різні типи продуктів, визначених у згаданому просторі.

Серед найбільш широко використовуваних основ у фізиці - основа, утворена одиничними векторами i , j та k, які представляють три відмінні напрями тривимірного простору: висоту, ширину та глибину. Ці вектори також відомі як одиничні канонічні вектори.

Якщо натомість вектори працюють у площині, двох цих трьох компонентів було б достатньо, тоді як для одновимірних векторів потрібен лише один.

Властивості основ

1- База B - це найменший можливий набір векторів, що генерують векторний простір V.

2- Елементи В лінійно незалежні.

3- Будь-яка основа В векторного простору V, дозволяє виразити всі вектори V у вигляді лінійної їх комбінації, і ця форма є унікальною для кожного вектора. З цієї причини B відомий також як генеруюча система.

4- Один і той же векторний простір V може мати різні бази.

Приклади основ

Ось кілька прикладів ортонормальних основ і підстав взагалі:

Канонічна основа в ℜ

Називається також природною базою або стандартною базою ℜ ⁿ , де ℜ ⁿ - n-мірний простір, наприклад, тривимірний простір дорівнює ℜ ³ . Значення n називається розмірністю векторного простору і позначається як dim (V).

Усі вектори, що належать до ℜ ⁿ , представлені упорядкованими n-оголошеннями. Для простору ℜ ⁿ канонічною основою є:

e ₁ = <1,0,. . . , 0>; e ₂ = <0,1,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0,. . . , 1>

У цьому прикладі ми використали позначення дужками або “дужками” і жирним шрифтом для одиничних векторів e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Канонічна основа в ℜ

Знайомі вектори i , j і k допускають це одне і те ж подання, і всіх трьох їх достатньо для представлення векторів у ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Це означає, що база може бути виражена так:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Щоб перевірити, що вони лінійно незалежні, визначник, утворений з ними, не дорівнює нулю, а також дорівнює 1:

Слід також мати можливість записувати будь-який вектор, що належить ℜ ^3, як лінійну їх комбінацію. Наприклад, сила, прямокутні компоненти якої F _x = 4 N, F _y = -7 N і F _z = 0 N, буде записана у векторній формі так:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Тому i , j і k складають систему генераторів of ³ .

Інші ортонормальні основи в ℜ

Стандартна основа, описана в попередньому розділі, не є єдиною ортонормальною базою у ℜ ³ . Ось у нас є, наприклад, основи:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}

Можна показати, що ці основи є ортонормальними, для цього ми пам'ятаємо умови, які повинні бути виконані:

-Вектори, що утворюють основу, повинні бути ортогональними один до одного.

-Кожен з них повинен бути унітарним.

Ми можемо перевірити це, знаючи, що утворений ними визначник повинен бути не нульовим і рівним 1.

Основа B ₁ - це саме циліндричні координати ρ, φ і z, інший спосіб вираження векторів у просторі.

Малюнок 2. Циліндричні координати. Джерело: Wikimedia Commons. Математичний баф.

Розв’язані вправи

- Вправа 1

Покажіть, що база B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} є ортонормальним.

Рішення

Щоб показати, що вектори перпендикулярні один одному, ми будемо використовувати скалярний добуток, який також називають внутрішнім або крапковим добутком двох векторів.

Нехай будь-які два вектори u і v , їх точковий добуток визначається:

u • v = uv cosθ

Для розрізнення векторів їх модулів будемо використовувати жирний шрифт для першого та звичайні літери для другого. θ - кут між u і v, тому якщо вони перпендикулярні, це означає, що θ = 90º, а скалярний добуток дорівнює нулю.

Як варіант, якщо вектори задані з точки зору їх компонентів: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, скалярний добуток обох, який є комутативним, обчислюється таким чином:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

Таким чином, скалярні добутки між кожною парою векторів отримують відповідно:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Для другої умови обчислюється модуль кожного вектора, який отримується:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Таким чином, модулями кожного вектора є:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Тому всі троє є одиничними векторами. Нарешті, визначник, який вони утворюють, не дорівнює нулю і дорівнює 1:

- Вправа 2

Запишіть координати вектора w = <2, 3,1> у базі вище.

Рішення

Для цього використовується наступна теорема:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Це означає, що ми можемо записати вектор у базу В, використовуючи коефіцієнти < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, для яких ми повинні обчислити вказані скалярні добутки:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

З отриманих скалярних добутків будується матриця, яка називається w координатною матрицею.

Тому координати вектора w в базі B виражаються:

_В =

Матриця координат не є вектором, оскільки вектор не такий, як його координати. Це лише набір чисел, які служать для вираження вектора в заданій базі, а не вектор як такий. Вони також залежать від обраної бази.

Нарешті, слідуючи теоремі, вектор w буде виражений так:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

З: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, тобто вектори основи B.

Список літератури

1. Ларсон, Р. Основи лінійної алгебри. 6-й. Видання. Cengage Learning.
2. Ларсон, Р. 2006. Обчислення. 7-й. Видання. Том 2. McGraw Hill.
3. Салас, Й. Лінійна алгебра. Блок 10. Ортонормальні основи. Відновлено: ocw.uc3m.es.
4. Університет Севільї. Циліндричні координати. Векторна база. Відновлено з: laplace.us.es.
5. Вікіпедія. Ортонормальна основа. Відновлено з: es.wikipedia.org.