ЕЛАСТИЧНІ УДАРИ: В ОДНОМУ ВИМІРІ, ОСОБЛИВІ ВИПАДКИ, ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Ці пружні зіткнення або пружні зіткнення короткі , але інтенсивні взаємодії між об'єктами, в яких є консервативними як імпульс і кінетична енергія. Аварії - це дуже часті події в природі: від субатомних частинок до галактик, до більярдних кульок і бампер-машин у парках розваг, всі вони об'єкти, здатні зіткнутися.

Під час зіткнення чи зіткнення сили взаємодії між предметами дуже сильні, набагато більше, ніж ті, які можуть діяти зовні. Таким чином можна констатувати, що під час зіткнення частинки утворюють ізольовану систему.

Зіткнення з більярдною кулькою можна вважати пружними. Джерело: Pixabay.

У цьому випадку вірно, що:

Імпульс P _o перед зіткненням такий же, як і після зіткнення. Це справедливо для будь-якого типу зіткнення, як еластичного, так і нееластичного.

Тепер розглянемо наступне: під час зіткнення предмети зазнають певної деформації. Коли удар є пружним, предмети швидко повертаються до початкової форми.

Збереження кінетичної енергії

Зазвичай під час аварії частина енергії предметів витрачається на тепло, деформацію, звук, а іноді навіть на виробництво світла. Тож кінетична енергія системи після зіткнення менша від початкової кінетичної енергії.

При збереженні кінетичної енергії K тоді:

Що означає, що сили, що діють під час зіткнення, консервативні. Під час зіткнення кінетична енергія ненадовго перетворюється на потенційну енергію, а потім повертається до кінетичної енергії. Відповідні кінетичні енергії змінюються, але сума залишається постійною.

Ідеально пружні зіткнення зустрічаються рідко, хоча більярдні кулі є досить хорошим наближенням, як і зіткнення між молекулами ідеального газу.

Еластичні удари в одному вимірі

Розберемо зіткнення двох частинок цього в одному вимірі; тобто взаємодіючі частинки рухаються, скажімо, вздовж осі x. Припустимо, вони мають маси m ₁ і m ₂ . Початкові швидкості кожного є u _{1 і} u ₂ відповідно. Кінцеві швидкості - v ₁ і v ₂ .

Ми можемо обійтися без позначення вектора, оскільки рух здійснюється вздовж осі x, проте знаки (-) та (+) вказують напрямок руху. Зліва негативно, а праворуч позитивно, умовно.

-Формула для пружних зіткнень

За кількість руху

Для кінетичної енергії

Поки відомі маси та початкові швидкості, рівняння можна перегрупувати для пошуку кінцевих швидкостей.

Проблема полягає в тому, що в принципі потрібно здійснити трохи досить втомлюючої алгебри, оскільки рівняння кінетичної енергії містять квадрати швидкостей, що робить обчислення трохи громіздким. Ідеальним було б знайти вирази, які їх не містять.

Перший - відмовитись від коефіцієнта ½ і переставити обидва рівняння таким чином, щоб з’явився негативний знак і можна було врахувати маси:

Висловлюючись таким чином:

Спрощення для усунення квадратів швидкостей

Тепер ми повинні скористатися сумою помітного добутку за його різницею у другому рівнянні, за допомогою якого ми отримаємо вираз, який не містить квадратів, як спочатку хотілося:

Наступним кроком є ​​підміна першого рівняння другим:

А оскільки термін m ₂ (v ₂ - u ₂ ) повторюється з обох сторін рівності, зазначений термін скасовується і залишається таким:

Або ще краще:

Кінцеві швидкості v

Тепер у вас є два лінійних рівняння, з якими простіше працювати. Ми повернемо їх один під інший:

Помноження другого рівняння на m ₁ і додавання терміна до терміна:

І вже можна очистити v ₂ . Наприклад:

Особливі випадки при пружних зіткненнях

Тепер, коли рівняння доступні для кінцевих швидкостей обох частинок, настав час проаналізувати деякі особливі ситуації.

Дві однакові маси

У цьому випадку m ₁ = m ₂ = my:

Частинки просто обмінюються своїми швидкостями після зіткнення.

Дві однакові маси, одна з яких спочатку знаходилася в спокої

Знову m ₁ = m ₂ = m і при допущенні u ₁ = 0:

Після зіткнення частинка, яка перебуває в спокої, набуває тієї ж швидкості, що і частинка, що рухається, і ця в свою чергу зупиняється.

Дві різні маси, одна з них спочатку в спокої

У цьому випадку припустимо, що u ₁ = 0, але маси різні:

Що робити, якщо m ₁ набагато більший, ніж m ₂ ?

Буває, що m _{1 все} ще _{знаходиться} в спокої, і m ₂ повертається з тією ж швидкістю, з якою він вплинув.

Коефіцієнт реституції або правило Гюйгенса-Ньютона

Раніше для пружних зіткнень було встановлено наступне співвідношення швидкостей для двох об'єктів: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁ . Ці відмінності є відносними швидкостями до та після зіткнення. Загалом, для зіткнення вірно, що:

Поняття відносної швидкості найкраще оцінюється, якщо читач уявляє, що він перебуває на одній з частинок і з цього положення спостерігає за швидкістю, з якою рухається інша частинка. Наведене рівняння переписується так:

Розв’язані вправи

-Решені вправи 1

Більярдний кулька рухається вліво зі швидкістю 30 см / с, зіштовхуючись вперед з іншою однаковою кулькою, яка рухається вправо зі швидкістю 20 см / с. Дві кульки мають однакову масу і зіткнення ідеально еластичне. Знайдіть швидкість кожної кулі після удару.

Рішення

u ₁ = -30 см / с

u ₂ = +20 см / с

Це особливий випадок, коли дві однакові маси пружно стикаються в одному вимірі, тому швидкості обмінюються.

v ₁ = +20 см / с

v ₂ = -30 см / с

-Решені вправи 2

Коефіцієнт відновлення кулі, який відскакує від землі, дорівнює 0,82. Якщо вона впаде з відпочинку, яку частку від початкової висоти досягне куля після одного разу підстрибуючи? А після 3 підборів?

Куля відбивається від твердої поверхні і втрачає висоту з кожним відскоком. Джерело: саморобний.

Рішення

Ґрунт може бути об'єктом 1 у рівнянні для коефіцієнта відновлення. І завжди залишається в спокої, щоб:

З цією швидкістю він підстрибує:

Знак + вказує, що це швидкість зростання. І відповідно до нього куля досягає максимальної висоти:

Тепер він знову повертається на землю зі швидкістю, рівною за величиною, але протилежною ознакою:

При цьому досягається максимальна висота:

Поверніться до землі за допомогою:

Послідовні відскоки

Кожен раз, коли м'яч відскакує і піднімається, помножте швидкість знову на 0,82:

У цей момент h ₃ становить приблизно 30% h _o . Якою була б висота до 6-го відскоку без необхідності робити такі детальні обчислення, як попередні?

Було б h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0,022h _o o лише 9% h _o .

-Рішена вправа 3

Блок 300 г рухається на північ зі швидкістю 50 см / с і стикається з блоком потужністю 200 г, який прямує на південь зі швидкістю 100 см / с. Припустимо, шок ідеально пружний. Знайдіть швидкості після удару.

Дані

m ₁ = 300 г; u ₁ = + 50 см / с

m ₂ = 200 г; u ₂ = -100 см / с

-Рішена вправа 4

Маса m ₁ = 4 кг звільняється від зазначеної точки на треку без тертя, поки вона не зіткнеться з m ₂ = 10 кг у спокої. На яку висоту піднімається m ₁ після зіткнення?

Рішення

Оскільки тертя відсутня, механічна енергія зберігається для знаходження швидкості u _1, з якою m ₁ досягає m _2. Спочатку кінетична енергія дорівнює 0, оскільки m ₁ починається з спокою. Коли він рухається по горизонтальній поверхні, він не має висоти, тому потенційна енергія дорівнює 0.

Тепер обчислюється швидкість m ₁ після зіткнення:

Негативний знак означає, що він повернений. З цією швидкістю вона піднімається, і механічна енергія знову зберігається, щоб знайти h ', висоту, на яку їй вдається піднятися після зіткнення:

Зверніть увагу, що він не повертається до початкової точки на висоті 8 м. Їй не вистачає енергії, оскільки маса m ₁ відмовилася від частини своєї кінетичної енергії _.

Список літератури

1. Джанколі, Д. 2006. Фізика: принципи застосування. 6- ^й . Ед Прентіс Холл. 175-181
2. Рекс, А. 2011. Основи фізики. Пірсон. 135-155.
3. Сервей, Р., Вулле, C. 2011. Основи фізики. 9 ^на Cengage Learning. 172-182
4. Тіплер, П. (2006) Фізика для науки і техніки. 5-е видання, том 1. Редакційна редакція. 217-238
5. Тіппенс, П. 2011. Фізика: поняття та програми. 7-е видання. MacGraw Hill. 185-195