НЕЯВНІ ПОХІДНІ: ЯК ВОНИ РОЗВ’ЯЗУЮТЬСЯ, ТАК І РОЗВ’ЯЗУЮТЬСЯ ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Ці неявні похідні інструменти , використовувані в разностной техніці стосовно функцій. Вони застосовуються тоді, коли за звичайних методів неможливо вирішити отримання залежної змінної. Цей кліренс здійснюється як функція незалежної змінної.

Наприклад, у виразі 3xy ³ - 2y + xy ² = xy ви не можете отримати вираз, який визначає "y" як функцію "x". Так що шляхом виведення диференціального виразу dy / dx можна отримати.

Як вирішуються неявні похідні?

Щоб вирішити неявну похідну, ми почнемо з імпліцитного вираження. Наприклад: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Це вже вирішено правильно, однак це не є необхідною умовою для отримання похідної y щодо x. Потім кожен з елементів виводиться з дотриманням правила ланцюга для змішаних функцій:

3xy ³ складається з 2 змінних, тому d (3xy ³ ) буде розглядатися як похідне від продукту функцій.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Де елемент y 'відомий як "y prime" і являє собою dy / dx

-2y Виведено відповідно до закону KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² припускає інший диференціал, складений добуток функцій

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-кси обробляється гомологічно

d (-xy) = -y - x y '

Вони замінюються в рівності, знаючи, що похідна від нуля дорівнює нулю.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Елементи, що мають термін y ', групуються на одній стороні рівності

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Загальний фактор y 'витягується з правого боку рівності

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Нарешті термін, що помножує y ', очищається. Таким чином отримуємо вираз, відповідний неявній похідній y відносно x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Правило ланцюга

При неявній деривації правило ланцюга завжди дотримується Всі диференціальні вирази будуть задані як функція незалежної змінної X. Отже, кожна змінна θ, крім X, повинна бути включена терміном dθ / dx після отримання.

Цей термін з’явиться лише в першій ступені або з показником, рівним 1. Ця якість дає зрозуміти повністю при традиційних методах факторингу. Таким чином, можна отримати вираз, який визначає диференціальний dθ / dx.

Правило ланцюга показує прогресивний характер диференціації або похідного процесу. Де для кожної складної функції f, маємо, що диференціальний вираз f буде

Оперативний порядок

У кожній застосованій формулі чи законі деривації необхідно враховувати порядок змінних. Критерії, пов'язані з незалежною змінною, дотримуються, не змінюючи її співвідношення із залежною змінною.

Відносини залежної змінної в момент виведення приймаються безпосередньо; За винятком того, що це буде розглядатися як друга функція, саме тому застосовується критерій правила ланцюга для змішаних функцій.

Це можна розробити в виразах з більш ніж двома змінними. За тими ж принципами будуть позначатися всі диференціали, що відносяться до залежних змінних.

Графічно обробляється той самий критерій, який визначає похідну. У той час як похідна - це нахил дотичної лінії до кривої в площині, решта диференціалів, що належать залежним змінним (dy / dx, dz / dx), являють собою площини, дотичні до векторних тіл, описаних множинними змінними функціями.

Неявне

Кажуть, що функція неявно визначена, якщо вираз y = f (x) може бути представлений у вигляді функції множинної змінної F (x, y) = 0 до тих пір, поки F визначено в площині R ² .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy можна записати у формі 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Зважаючи на неможливість зробити функцію y = f (x) явною.

Історія

Різні математичні дослідники почали називати різними математичними дослідниками близько XVII століття. Перший раз про це було сказано через внески Ньютона та Лейбніца. Обидва розглядали диференційне обчислення з різних точок зору, але збігаючись у своїх результатах.

Хоча Ньютон зосередився на диференціації як швидкості або швидкості зміни, підхід Лейбніца був більш геометричним. Можна сказати, що Ньютон напав на домисли, залишені Аполонієм Перге та Лейбніцом на геометричні ідеї Ферма.

Неявна деривація з'являється одразу при розгляді диференціальних та інтегральних рівнянь. Вони розширили геометричну концепцію Лейбніца на R ³ і навіть на багатовимірні простори.

Програми

Неявні похідні застосовуються в різних ситуаціях. Вони поширені в проблемах обмінного курсу між пов'язаними змінними, де, залежно від сенсу дослідження, змінні вважатимуться залежними або незалежними.

Вони також мають цікаві геометричні програми, наприклад, у відображенні чи тіньових проблемах, на фігурах, форму яких можна математично моделювати.

Вони часто використовуються в галузі економіки та машинобудування, а також у різних дослідженнях природних явищ та експериментальних спорудах.

Розв’язані вправи

Вправа 1

Визначте неявний вираз, який визначає dy / dx

Кожен елемент виразу диференційований

Встановлення правила ланцюжка у кожному компетентному випадку

Групування на одній стороні рівності елементів, що мають dy / dx

Він враховується за допомогою загального фактора

Він вирішується, отримуючи шуканий вираз

Вправа 2

Визначте неявний вираз, який визначає dy / dx

Вираження похідних, які слід здійснити

Виведення неявно відповідно до правила ланцюга

Факторинг загальних елементів

Групування терміна dy / dx на одній стороні рівності

Загальний фактор для диференціального елемента

Виділяємо і отримуємо шуканий вираз

Список літератури

1. Обчислення єдиної змінної. Рон Ларсон, Брюс Х. Едвардс. Cengage Learning, 10 листопада 2008 рік
2. Теорема неявних функцій: історія, теорія та програми. Стівен Г. Кранц, Гарольд Р. Паркс. Springer Science & Business Media, 9 листопада. 2012 рік
3. Багатовимірний аналіз. Сатіш Ширалі, Харрішан Лал Васудева. Springer Science & Business Media, 13 грудня. 2010 рік
4. Динаміка системи: моделювання, моделювання та управління мехатронними системами. Дін К. Карнопп, Дональд Л. Марголіс, Рональд К. Розенберг. John Wiley & Sons, 7 березня 2012 рік
5. Підрахунок: математика та моделювання. Вільям Болдрі, Джозеф Р. Фідлер, Френк Р. Джордано, Ед Лоді, Рік Вітрай. Аддісон Веслі Лонгман, 1 січня 1999 рік