ЗАКОНИ КЕПЛЕРА: ПОЯСНЕННЯ, ВПРАВИ, ЕКСПЕРИМЕНТ - ФІЗИЧНІ - 2025

У Kepler «S закони планетарного руху були зроблені німецьким астрономом Йоганн Кеплер (1571-1630). Кеплер вивів їх на основі праці свого вчителя датського астронома Тихо Браге (1546-1601).

Браге ретельно збирав дані руху планети протягом більш ніж 20 років, з дивовижною точністю та точністю, вважаючи, що на той час телескоп ще не був винайдений. Термін дії ваших даних залишається чинним і сьогодні.

Малюнок 1. Орбіти планет за законами Кеплера. Джерело: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

3 Закону Кеплера

Закони Кеплера стверджують:

-Перший закон : усі планети описують еліптичні орбіти із Сонцем в одному з вогнищ.

Це означає, що відношення T ² / r ³ однакове для всіх планет, що дає можливість обчислити орбітальний радіус, якщо орбітальний період відомий.

Коли T виражено в роках і r в астрономічних одиницях AU *, константа пропорційності k = 1:

* Астрономічна одиниця дорівнює 150 мільйонам кілометрів, що становить середню відстань між Землею та Сонцем. Орбітальний період Землі становить 1 рік.

Закон всесвітнього тяжіння і третій закон Кеплера

Універсальний закон гравітації говорить, що величина тяжіння сили тяжіння між двома об'єктами мас M і m відповідно, центри яких розділені на відстань r, задається:

G - універсальна константа гравітації і її значення G = 6674 x 10 ^-11 Нм ² / кг ² .

Тепер орбіти планет еліптичні з дуже малим ексцентриситетом.

Це означає, що орбіта знаходиться не дуже далеко від окружності, за винятком таких випадків, як карликова планета Плутон. Якщо ми наблизимо орбіти до кругової форми, прискорення руху планети:

Оскільки F = ma, ми маємо:

Тут v - лінійна швидкість планети навколо Сонця, яка вважається статичною і масою M, тоді як швидкість планети дорівнює m. Так:

Це пояснює, що планети, розташовані далі від Сонця, мають меншу орбітальну швидкість, оскільки це залежить від 1 / √r.

Оскільки відстань, яку проходить планета, приблизно дорівнює довжині окружності: L = 2πr, і вона займає час, рівний T, орбітальному періоду, отримуємо:

Прирівнюючи обидва вирази для v дає дійсний вираз для T ² , квадрат орбітального періоду:

І саме це третій закон Кеплера, оскільки в цьому виразі круглі дужки 4π ² / GM є постійними, тому T ² пропорційний відстані r куб.

Остаточне рівняння для орбітального періоду отримують, взявши квадратний корінь:

Малюнок 3. Афеліон та перигелій. Джерело: Wikimedia Commons. Пірсон Скотт Форсман / Громадське надбання

Тому ми замінюємо r третім законом Кеплера, що призводить до Галлі в:

Рішення b

a = ½ (Perihelion + Aphelion)

Експеримент

Аналіз руху планет вимагає тижнів, місяців і навіть років ретельного спостереження та запису. Але в лабораторії може бути проведений дуже простий експеримент у дуже простому масштабі, щоб довести, що закон рівних площ Кеплера дотримується.

Для цього потрібна фізична система, в якій сила, яка керує рухом, є центральною, достатньою умовою для виконання закону областей. Така система складається з маси, прив’язаної до довгого мотузки, іншим кінцем різьби закріплений на опорі.

Маса переміщується невеликим кутом від її положення рівноваги і на неї подається незначний імпульс, щоб він здійснював овальний (майже еліптичний) рух у горизонтальній площині, ніби це планета навколо Сонця.

На кривій, описаній маятником, ми можемо довести, що вона змітає рівні площі в рівні рази, якщо:

-Розглядаємо векторні радіуси, які йдуть від центру тяжіння (початкової точки рівноваги) до положення маси.

-І ми переміщаємося між двома послідовними моментами однакової тривалості у двох різних областях руху.

Чим довше маятникова струна і тим менший кут від вертикалі, тим більше сила відновлення сітки буде горизонтальнішою, і моделювання нагадує випадок руху з центральною силою в площині.

Потім описаний овал наближається до еліпса, такого як той, по якому рухаються планети.

матеріали

-Нерозширювана нитка

-1 масова або металева куля, пофарбована в білий колір, що виступає як маятниковий боб

-Рулер

-Конвеєр

-Фотографічна камера з автоматичним стробоскопом

-Підтримує

-Дві джерела освітлення

-Ліст чорного паперу або картону

Процес

Збірка фігури необхідна для того, щоб зробити фотографії декількох спалахів маятника, як йде його шлях. Для цього вам слід поставити камеру трохи вище маятника та автоматичний стробовий диск перед об'єктивом.

Малюнок 4. Збір маятника, щоб перевірити, чи він змітає рівні площі в рівні рази. Джерело: Посібник з лабораторії PSSC.

Таким чином, зображення отримують через регулярні інтервали часу маятника, наприклад, кожні 0,1 або кожні 0,2 секунди, що дозволяє нам знати час, який знадобився для переміщення з однієї точки в іншу.

Ви також повинні правильно освітлити маятник, розмістивши вогні з двох сторін. Сочевицю слід пофарбувати в білий колір, щоб поліпшити контраст на тлі, який складається з чорного паперу, рознесеного на землі.

Тепер ви повинні перевірити, що маятник змітає рівні площі за рівний час. Для цього вибирається часовий інтервал і точки, зайняті маятником у цьому проміжку, позначаються на папері.

На зображенні накреслена лінія від центру овалу до цих точок, і таким чином у нас вийде перша з областей, змітана маятником, що є приблизно еліптичним сектором, як показано нижче:

Малюнок 5. Площа еліптичного сектора. Джерело: Ф. Сапата.

Розрахунок площі еліптичного перерізу

За допомогою транспортира вимірюють кути θ _o і θ ₁ , і ця формула використовується для знаходження S, площі еліптичного сектора:

З F (θ) задано:

Зауважте, що a і b - це головні та другорядні піввісі відповідно. Читачеві залишається лише турбуватися про ретельне вимірювання напівосей та кутів, оскільки в Інтернеті є калькулятори, щоб легко оцінити цей вираз.

Однак якщо ви наполягаєте робити обчислення вручну, пам’ятайте, що кут θ вимірюється в градусах, але при введенні даних у калькулятор значення повинні бути виражені в радіанах.

Потім потрібно позначити ще одну пару точок, у яких маятник перевернув той же часовий інтервал, і намалювати відповідну область, обчисливши його значення за тією ж процедурою.

Перевірка закону рівних площ

Нарешті, залишається перевірити, чи виконується закон про райони, тобто, що рівні площі змітаються в рівний час.

Чи трохи відхиляються результати від очікуваного? Потрібно завжди враховувати, що всі вимірювання супроводжуються відповідною експериментальною помилкою.

Список літератури

1. Інтернет-калькулятор Keisan. Площа калькулятора еліптичного сектора. Відновлено з: keisan.casio.com.
2. Відкриття податку. Закон Кеплера планетарного руху. Відновлено з: openstax.org.
3. PSSC. Лабораторна фізика. Редакційна реверте. Відновлено з: books.google.co.
4. Пален, С. 2002. Астрономія. Серія Шаум. McGraw Hill.
5. Перес Р. Проста система з центральною силою. Відновлено з: francesphysics.blogspot.com
6. Стерн, три закони Д. Кеплера щодо руху планети. Відновлено з: phy6.org.