МОДУЛЬ ЮНГА: ОБЧИСЛЕННЯ, ДОДАТКИ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

У модуль Юнга або модуль пружності константа , що зв'язує розтягнення або стиснення з відповідним збільшенням або зменшенням довжини , що має об'єкт під цими силами.

Зовнішні сили, застосовані до предметів, можуть не лише змінити стан їх руху, але й здатні змінити свою форму або навіть розбити або розбити їх.

Малюнок 1. Рухи кота сповнені еластичності та витонченості. Джерело: Pixabay.

Модуль Юнга використовується для вивчення змін, що виникають у матеріалі, коли зовнішнє застосування сили розтягування чи стиску. Це дуже корисно з таких предметів, як інженерія чи архітектура.

Модель належить своєму імені британському вченому Томасу Янгу (1773-1829), який був тим, хто проводив дослідження матеріалів, пропонуючи міру жорсткості різних матеріалів.

Яка модель Янга?

Модель Юнга - міра жорсткості. У матеріалах із низькою жорсткістю (червоний) спостерігається більша деформація під натяжним або стисненим навантаженням. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

На скільки може деформуватися предмет? Це те, що інженери часто хочуть знати. Відповідь буде залежати від властивостей матеріалу та розмірів, які він має.

Наприклад, ви можете порівняти два бруски з алюмінію з різними розмірами. Кожен має різну площу поперечного перерізу і довжину, і обидва піддаються однаковій силі розтягу.

Очікувана поведінка буде наступною:

- Чим більше товщина (поперечний переріз) бруска, тим менше розтяг.

- Чим більше початкова довжина, тим більше кінцеве розтягнення.

Це має сенс, адже зрештою, досвід показує, що намагатися деформувати гумку - це не те саме, що намагатися зробити це сталевим стрижнем.

Параметр, який називається модулем пружності матеріалу, є показником його пружної реакції.

Як він обчислюється?

Будучи лікарем, Янг хотів дізнатися роль еластичності артерій у доброму виконанні кровообігу. Зі свого досвіду він зробив висновок про наступні емпіричні відносини:

Можна графічно зобразити поведінку матеріалу під дією напруги, як показано на наступному малюнку.

Малюнок 2. Графік напружень проти напруги для матеріалу. Джерело: саморобний.

Від походження до точки А

У першому розділі, який йде від початку від точки до точки А, графік - це пряма лінія. Закон Гука діє там:

F = kx

Де F - величина сили, яка повертає матеріал у початковий стан, x - деформація, яку зазнає він, а k - константа, що залежить від об'єкта, що зазнає напруги.

Розглянуті тут деформації невеликі, а поведінка ідеально еластична.

Від А до В

Від А до Б матеріал також поводиться еластично, але зв’язок між напругою і напругою вже не є лінійним.

Від В до С

Між точками В і С матеріал зазнає постійної деформації, не в змозі повернутися до початкового стану.

Від С

Якщо матеріал продовжує розтягуватися від точки С, він з часом розривається.

Математично спостереження Янга можна узагальнити так:

Стрес ∝ Напруга

Де константа пропорційності є саме модулем пружності матеріалу:

Напруга = Модуль пружності x Деформація

Існує багато способів деформації матеріалів. Три найпоширеніші типи стресу, якому піддається об'єкт, це:

- Напруга або розтягнення.

- Стиснення.

- Вирізати або зрізати

Одним із наголосів, яким матеріали, як правило, піддаються, наприклад, у цивільному будівництві або автомобільних деталях, є тяга.

Формули

Коли об’єкт довжиною L розтягується або натягується, він піддається тязі, що спричиняє зміну його довжини. Діаграма цієї ситуації представлена ​​на рисунку 3.

Для цього потрібно прикласти силу величини F на одиницю площі до її кінців, щоб викликати розтягнення таким чином, щоб її нова довжина стала L + DL.

Зусилля, докладені для деформації об'єкта, становитимуть саме цю силу на одиницю площі, тоді як напруга, яке зазнає, становить ΔL / L.

Малюнок 3. Об'єкт, що піддається тязі або розтягуванню, зазнає подовження. Джерело: саморобний.

Позначаючи модуль Юнга як Y, і відповідно до вищезазначеного:

Відповідь полягає в тому, що штам вказує на відносну деформацію щодо вихідної довжини. Це не те саме, що на 1 м брусок розтягується або стискається на 1 см, так як конструкція завдовжки 100 метрів однаково деформується на 1 див.

Для правильного функціонування деталей і конструкцій існує допуск щодо допустимих відносних деформацій.

Рівняння для обчислення деформації

Якщо вищевказане рівняння аналізується наступним чином:

- Чим більша площа поперечного перерізу, тим менше деформація.

- Чим довша довжина, тим більша деформація.

- Чим вище модуль Юнга, тим менша деформація.

Одиниці напруги відповідають ньютонам / квадратний метр (Н / м ² ). Вони також є одиницями тиску, які в Міжнародній системі носять ім’я Паскаль. Деформація ΔL / L, з іншого боку, є безрозмірною, тому що є коефіцієнтом між двома довжинами.

Одиниці англійської системи є фунт / в ^2, а також використовуються дуже часто. Коефіцієнт перетворення для переходу від одного до іншого становить: 14,7 фунт / в ² = 1,01325 х 10 ⁵ Па

Це призводить до того, що модуль Юнга також має одиниці тиску. Нарешті, вищенаведене рівняння можна виразити для розв’язування для Y:

У матеріалознавстві важлива еластична реакція їх на різні зусилля, щоб вибрати найбільш підходящий для кожного застосування, будь то виготовлення крила літака чи автомобільного підшипника. Характеристики використовуваного матеріалу є визначальними в очікуванні від нього відповіді.

Щоб вибрати найкращий матеріал, необхідно знати напруження, яким піддається певна деталь; і, отже, вибирайте матеріал, який має властивості, найбільш відповідні конструкції.

Наприклад, крило літака повинно бути міцним, легким і здатним згинатися. Матеріали, які використовуються при будівництві будівель, повинні значною мірою протистояти сейсмічним рухам, але вони також повинні мати певну гнучкість.

Інженери, які проектують крила літака, а також ті, хто вибирає будівельні матеріали, повинні використовувати графіки напруженості, як показано на малюнку 2.

Вимірювання для визначення найбільш відповідних еластичних властивостей матеріалу можна проводити в спеціалізованих лабораторіях. Таким чином, існують стандартизовані випробування, яким піддаються зразки, до яких застосовуються різні напруги, пізніше вимірюючи отримані деформації.

Приклади

Як вже було сказано вище, Y залежить не від розміру або форми предмета, а від характеристик матеріалу.

Ще одне дуже важливе зауваження: щоб рівняння, яке подано вище, було застосовно, матеріал повинен бути ізотропним, тобто його властивості повинні залишатися незмінними протягом усього часу.

Не всі матеріали є ізотропними: є такі, пружна реакція яких залежить від певних параметрів спрямованості.

Деформація, проаналізована в попередніх сегментах, - лише одна з багатьох, яким може бути підданий матеріал. Наприклад, що стосується напруги при стиску, то це протилежне напруженню при розтягуванні.

Наведені рівняння стосуються обох випадків, а значення Y майже завжди однакові (ізотропні матеріали).

Помітним винятком є ​​бетон або цемент, який чинить опір стисненню краще, ніж тяговий. Тому його потрібно посилити, коли потрібен опір розтягуванню. Сталь - це матеріал, зазначений для цього, оскільки він дуже добре чинить опір розтягуванню або тязі.

Приклади споруд, що зазнали напруги, включають будівельні колони та арки, класичні будівельні елементи у багатьох античних та сучасних цивілізаціях.

Рисунок 4. Понт Жульєн, римська споруда з 3 до н.е. на півдні Франції.

Розв’язані вправи

Вправа 1

Сталевий дріт довжиною 2,0 м у музичному інструменті має радіус 0,03 мм. Коли кабель знаходиться під напругою 90 Н: на скільки змінюється його довжина? Дані: Модуль Юнга зі сталі становить 200 x 10 ⁹ Н / м ²

Рішення

Потрібно обчислити площу поперечного перерізу A = πR ² = π. (0,03 х 10 ^-3 м) ² = 2,83 х 10 ^-9 м ²

Стрес - це напруження на одиницю площі:

Оскільки струна знаходиться під напругою, це означає, що вона подовжується.

Нова довжина L = L _o + DL, де L _o - початкова довжина:

L = 2,32 м

Вправа 2

Мармурова колона, площа поперечного перерізу якої 2,0 м ^2, підтримує масу в 25 000 кг. Знайти:

а) Зусилля в хребті.

б) Процідити.

в) На скільки коротший стовпчик, якщо його висота дорівнює 12 м?

Рішення

а) Зусилля в колоні зумовлені вагою 25000 кг:

P = мг = 25000 кг х 9,8 м / с ² = 245 000 Н

Тому зусилля такі:

б) Деформація ΔL / L:

c) ΔL - зміна довжини, задане:

ΔL = 2,45 х 10 ^-6 х 12 м = 2,94 х10 ^-5 м = 0,0294 мм.

Не очікується, що мармурова колона значно скоротиться. Зауважте, що хоча модуль Юнга в мармурі нижчий, ніж у сталі, і що колона також підтримує набагато більшу силу, його довжина майже не змінюється.

З іншого боку, в мотузці попереднього прикладу варіація значно помітніша, хоча сталь має набагато більший модуль Юнга.

Його велика площа поперечного перерізу втручається в колону, і тому вона набагато менш деформується.

Про Томаса Янга

1822 р. Портрет Томаса Янга. Томас Лоуренс / Громадське надбання

Модуль пружності названий на честь Томаса Янга (1773-1829), універсального британського вченого, який зробив великий внесок у науку у багатьох областях.

Як фізик, Янг не тільки вивчав хвильову природу світла, виявлену відомим експериментом з подвійною щілиною, але він також був лікарем, мовознавцем і навіть допоміг розшифрувати деякі єгипетські ієрогліфи на знаменитому камені Розетта.

Він був членом Королівського товариства, Королівської шведської академії наук, Американської академії мистецтв і наук або Французької академії наук, серед інших благородних наукових установ.

Однак слід зазначити, що концепція моделі раніше була розроблена Леонгаром Ейлером (1707-1873), і що такі вчені, як Джордано Ріккаті (1709-1790), вже провели експеримент, який би застосував модель Юнга на практиці. .

Список літератури

1. Bauer, W. 2011. Фізика для інженерії та наук. Том 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Джанколі, Д. 2006. Фізика: принципи застосування. Шосте видання. Prentice Hall. 238–249.