АТОМНА МОДЕЛЬ ДИРАКА ЙОРДАНА: ХАРАКТЕРИСТИКИ ТА ПОСТУЛАТИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Атомна модель Дірака-Джордан є релятивістським узагальненням оператора Гамільтона в рівнянні , яке описує функцію квантової хвилі електрона. На відміну від попередньої моделі, такої у Шродінгера, не потрібно нав'язувати віджимання за принципом виключення Паулі, оскільки воно з'являється природним шляхом.

Крім того, модель Дірака-Йордана включає релятивістські корективи, взаємодію спін-орбіти та термін Дарвіна, які враховують тонку структуру електронних рівнів атома.

Малюнок 1. Електронні орбіталі в атомі водню для перших трьох енергетичних рівнів. Джерело: Wikimedia Commons.

Починаючи з 1928 р., Вчені Пол А. М. Дірак (1902-1984) та Паскуаль Джордан (1902-1980) мали намір узагальнити квантову механіку, розроблену Шродінгенром, щоб вона включала особливі корекції відносності Ейнштейна.

Дірак починається з рівняння Шрьодінгера, яке складається з диференціального оператора, званого Гамільтоніана, який діє на функцію, відому як електрон-хвильова функція. Однак Шредінгер не враховував релятивістські ефекти.

Рішення хвильової функції дозволяють обчислити області, де з певним ступенем ймовірності електрон знайдеться навколо ядра. Ці регіони або зони називаються орбіталями і залежать від певних дискретних квантових чисел, які визначають енергію та імпульс кута електрона.

Постулати

У квантових механічних теоріях, незалежно від того, чи є релятивістськими, чи ні, немає поняття орбіт, оскільки ні положення, ні швидкість електрона не можуть бути визначені одночасно. Крім того, вказівка ​​однієї зі змінних призводить до повної неточності в іншій.

Зі свого боку, Гамільтоніан - це математичний оператор, який діє на квантову хвильову функцію і будується з енергії електрона. Наприклад, вільний електрон має загальну енергію E, яка залежить від його лінійного імпульсу p таким чином:

Е = ( р ² ) / 2м

Щоб побудувати гамільтоніан, ми почнемо з цього виразу і підставимо p на квантовий оператор імпульсом:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Важливо зазначити, що терміни p і p різні, оскільки перший - імпульс, а другий - диференціальний оператор, пов'язаний з імпульсом.

Крім того, i - уявна одиниця і ħ константа Планка, поділена на 2π, таким чином отримується гамільтонівський оператор H вільного електрона:

Н = (ħ ² / 2м) ∂ ² / ∂ r ²

Щоб знайти в атомі гамільтоніана електрона, додайте взаємодію електрона з ядром:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

У попередньому виразі -е - електричний заряд електрона і Φ (r) електростатичний потенціал, що виробляється центральним ядром.

Тепер оператор H діє на хвильову функцію ψ згідно рівняння Шродінгера, яка записана так:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Чотири постулати Дірака

Перший постулат : релятивістське хвильове рівняння має таку ж структуру, що і хвильове рівняння Шредінгера, що змінює H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Другий постулат : Гамільтонівський оператор побудований, починаючи з зв'язку Ейнштейна з енергією-імпульсом, яка записується так:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ² ) ^1/2

У попередньому відношенні, якщо частинка має імпульс p = 0, то маємо відоме рівняння E = mc ^2, яке пов'язує енергію в спокої будь-якої частинки масою m зі швидкістю світла c.

Третій постулат : для отримання оператора Гамільтона, застосовується те саме правило квантування, яке використовується в рівнянні Шродінгера:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

На початку було незрозуміло, як поводитися з цим диференціальним оператором, що діє в межах квадратного кореня, тому Дірак ставив за мету отримати лінійний оператор Гамільтонія на операторі імпульсу і звідти виник його четвертий постулат.

Четвертий постулат : щоб позбутися квадратного кореня у формулі релятивістської енергії, Дірак запропонував таку структуру для E ² :

Звичайно, необхідно визначити коефіцієнти альфа (α0, α1, α2, α3), щоб це було правдою.

Рівняння Дірака

У своєму компактному вигляді рівняння Дірака вважається одним з найкрасивіших математичних рівнянь у світі:

Малюнок 2. Рівняння Дірака в компактному вигляді. Джерело: Ф. Сапата.

І тоді стає зрозумілим, що постійні альфа не можуть бути скалярними величинами. Єдиний спосіб виконання рівності четвертого постулату полягає в тому, що вони є постійними матрицями 4 × 4, які відомі як матриці Дірака:

Ми відразу помічаємо, що хвильова функція перестає бути скалярною функцією і стає вектором з чотирма компонентами, які називаються спінором:

Атом Дірака - Йорданія

Для отримання атомної моделі необхідно перейти від рівняння вільного електрона до рівня електрона в електромагнітному полі, виробленому атомним ядром. Ця взаємодія враховується шляхом включення скалярного потенціалу Φ та векторного потенціалу A в гамільтоніан:

Хвильова функція (спінор), що є результатом включення цього гамільтоніана, має такі характеристики:

- Виконує спеціальну відносність, оскільки враховує внутрішню енергію електрона (перший член релятивістського гамільтоніана)

- Він має чотири рішення, що відповідають чотирьом компонентам спінору

- Перші два рішення відповідають одному для спіна + ½, а другому для прядіння - ½

- Нарешті, два інші рішення передбачають існування антиматерії, оскільки вони відповідають позитиронам з протилежними віджиманнями.

Велика перевага рівняння Дірака полягає в тому, що виправлення до основного гамільтоніану Шродінгера H (o) можна розділити на кілька доданків, які ми покажемо нижче:

У попередньому виразі V - скалярний потенціал, оскільки векторний потенціал A дорівнює нулю, якщо центральний протон вважається нерухомим і тому не з'являється.

Причина того, що виправлення Дірака до розв’язків Шрьодінгера у хвильовій функції є тонкою. Вони виникають із-за того, що всі три останні члени виправленого гамільтоніана розділені на швидкість c світла у квадраті, величезну кількість, що робить ці терміни чисельно малими.

Релятивістські корекції енергетичного спектру

Використовуючи рівняння Дірака-Йордана, ми знаходимо корекції енергетичного спектру електрона в атомі водню. Виправлення енергії в атомах з більш ніж одним електроном у наближеному вигляді також можна знайти методологією, відомою як теорія збурень.

Аналогічно, модель Дірака дозволяє знайти корекцію тонкої структури в енергетичних рівнях водню.

Однак ще більш тонкі виправлення, такі як гіпертонка структура та зсув Ламб, отримують із більш досконалих моделей, таких як теорія квантових полів, яка народилася саме завдяки внеску моделі Дірака.

На наступному малюнку показано, як виглядають релятивістські корективи рівня енергії Дірака:

Малюнок 3. Поправки моделі Дірака до рівнів атома водню. Джерело: Wikimedia Commons.

Наприклад, рішення рівняння Дірака правильно прогнозують спостережуваний зсув на рівні 2s. Це добре відома корекція тонкої структури в лінійно-альфа-лінії спектру водню (див. Рисунок 3).

До речі, тонка структура - це назва, дане в атомній фізиці подвоєнню ліній спектра випромінювання атомів, що є прямим наслідком електронного віджимання.

Малюнок 4. Тонка структура розщеплення для основного стану n = 1 і першого збудженого стану n = 2 в атомі водню. Джерело: R Wirnata. Релятивістські корекції атомів, подібних до водню. Researchgate.net

Статті, що цікавлять

Атомна модель Де Бройля.

Атомна модель Чадвіка.

Атомна модель Гейзенберга.

Атомна модель Перріна.

Атомна модель Томсона.

Атомна модель Далтона.

Атомна модель Шредінгера.

Атомна модель Демокріта.

Атомна модель Бора.

Список літератури

1. Атомна теорія. Відновлено з wikipedia.org.
2. Електромагнітний момент. Відновлено з wikipedia.org.
3. Кванта: Довідник понять. (1974). Oxford University Press. Відновлено з Wikipedia.org.
4. Атомна модель Дірака Йордана. Відновлено з prezi.com.
5. Новий квантовий Всесвіт. Cambridge University Press. Відновлено з Wikipedia.org.