ІНЕРЦІЙНИЙ МОМЕНТ: ФОРМУЛИ, РІВНЯННЯ ТА ПРИКЛАДИ ОБЧИСЛЕННЯ - ФІЗИЧНІ - 2025

Момент інерції твердого тіла відносно деякої осі обертання представляє його стійкість до зміни його кутової швидкості навколо зазначеної осі. Вона пропорційна масі, а також розташуванню осі обертання, оскільки тіло, залежно від його геометрії, може обертатися легше навколо певних осей, ніж у інших.

Припустимо великий об'єкт (що складається з багатьох частинок), який може обертатися навколо осі. Припустимо, що сила F діє , застосована тангенціально на елемент маси Δm _i , який створює крутний момент або момент, заданий τ _net = ∑ r _i x F _i . Вектор r _i - положення Δm _i (див. Рисунок 2).

Малюнок 1. Моменти інерції різних фігур. Джерело: Wikimedia Commons.

Цей момент перпендикулярний до площини обертання (напрям + k = вихід паперу). Оскільки сила і радіальний вектор положення завжди перпендикулярні, поперечний добуток залишається:

τ _нет = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Малюнок 2. Частка, що належить жорсткому твердому тілу в обертанні. Джерело: Сервей, Р. 2018. Фізика для науки та техніки. Том 1. Навчання за участю.

Прискорення a _i являє дотичну складову прискорення, оскільки радіальне прискорення не сприяє обертаючому моменту. Як функцію кутового прискорення α, ми можемо вказати, що:

Тому чистий крутний момент виглядає приблизно так:

τ _нет = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Кутове прискорення α однакове для всього об'єкта, тому на нього не впливає індекс "i", і він може залишити підсумок, який саме є моментом інерції об'єкта, символізованого буквою I:

Це момент інерції дискретного розподілу маси. Коли розподіл безперервний, підсумовування замінюється інтегралом і Δm стає диференціальним масою dm. Інтеграл здійснюється над усім об’єктом:

Одиниці моменту інерції в міжнародній системі СІ - кг хм ² . Це скалярна і позитивна величина, оскільки це добуток маси і квадрата відстані.

Приклади розрахунків

Розширений об'єкт, такий як брусок, диск, сфера чи інше, щільність ρ є постійним і знаючи, що щільність - це відношення маси та об'єму, диференціальний маси dm записується як:

Підставляючи в інтеграл момент інерції, маємо:

Це загальний вираз, дійсний для тривимірного об'єкта, об'єм V і положення r - функції просторових координат x, y і z. Зауважте, що будучи постійною, щільність знаходиться поза інтегралом.

Щільність ρ також відома як об'ємна щільність, але якщо об'єкт дуже плоский, як лист або дуже тонкий і вузький, як стрижень, можна використовувати інші форми щільності, давайте подивимось:

- Для дуже тонкого аркуша використовувана щільність σ, поверхнева щільність (маса на одиницю площі), а dA - диференціальний площа.

- І якщо це тонка смужка, де доречна лише довжина, використовуються лінійна щільність маси λ і диференціал довжини відповідно до осі, яка використовується як еталон.

У поданих нижче прикладах усі об'єкти вважаються жорсткими (не деформуються) і мають рівномірну щільність.

Момент інерції тонкого бруска відносно осі, що проходить через його центр

Тут ми збираємося обчислити момент інерції тонкого, жорсткого, однорідного бруска довжиною L та масою М відносно осі, яка проходить через середовище.

По-перше, необхідно встановити систему координат і побудувати фігуру з відповідною геометрією, як це:

Малюнок 3. Геометрія для обчислення моменту інерції тонкого стрижня відносно вертикальної осі, яка проходить через його центр. Джерело: Ф. Сапата.

В якості осі обертання було обрано вісь x уздовж смуги та вісь y. Процедура встановлення інтеграла також вимагає вибору диференціального маси на бруску, званого dm, який має різницю довжини dx і розташований у довільному положенні x, щодо центру x = 0.

Відповідно до визначення лінійної масової щільності λ:

Оскільки щільність рівномірна, що справедливо для M і L, вона також справедлива для dm і dx:

З іншого боку, елемент маси перебуває у положенні x, тому, замінюючи цю геометрію у визначенні, ми маємо певний інтеграл, межі якого є кінцями смуги відповідно до системи координат:

Підміна лінійної щільності λ = M / L:

Щоб знайти момент інерції штанги відносно іншої осі обертання, наприклад тієї, що проходить через одну з її крайнощів, ви можете використовувати теорему Штейнера (див. Вправу, розв’язану в кінці) або здійснити прямий обчислення, аналогічне показаному тут, але модифікуючи геометрію відповідним чином.

Момент інерції диска відносно осі, що проходить через його центр

Дуже тонкий диск незначної товщини - плоска фігура. Якщо маса рівномірно розподілена по всій поверхні площі А, густина маси σ дорівнює:

І dm, і dA відповідають масі та площі диференціального кільця, показаному на малюнку. Будемо вважати, що вся збірка обертається навколо осі y.

Можна уявити, що диск складається з безлічі концентричних кілець радіусом r, кожне з відповідним моментом інерції. Додаючи внески всіх кілець до досягнення радіусу R, ми матимемо загальний момент інерції диска.

Малюнок 4. Геометрія для обчислення моменту інерції диска відносно осьової осі. Джерело: Ф. Сапата.

Де M являє собою всю масу диска. Площа диска залежить від його радіусу r як:

Похідне відносно r:

Підставляючи вищезазначене у визначенні I:

Підставляючи σ = M / (π.R ² ), отримуємо:

Момент інерції твердої сфери близько діаметра

Сферу радіуса R можна розглядати як ряд дисків, укладених один над одним, де кожен диск нескінченно малої маси dm, радіус r та товщина dz, має інерційний момент, заданий:

Щоб знайти цей диференціал, ми просто взяли формулу з попереднього розділу і замінили M і R на dm і r відповідно. Такий диск можна побачити в геометрії малюнка 5.

Малюнок 5. Геометрія для обчислення моменту інерції твердої сфери радіусом R відносно осі, яка проходить через діаметр. Джерело: Ф. Сапата.

Додавши всі нескінченно малі інерційні моменти складених дисків, виходить загальний момент інерції сфери:

Що еквівалентно:

Щоб вирішити інтеграл, потрібно правильно виразити dm. Як завжди, це досягається з щільності:

Об'єм диференційного диска:

Висота диска - товщина dz, тоді як площа основи - πr ² , отже:

І замінивши запропонований інтеграл, це виглядатиме так:

Але перед інтеграцією ми повинні зауважити, що r - радіус диска - залежить від z і R - радіус сфери, як видно з рисунка 5. Використовуючи теорему Піфагора:

Що призводить нас до:

Для інтеграції по всій сфері зазначимо, що z змінюється між –R і R, отже:

Знаючи, що ρ = M / V = ​​M / остаточно отримується, після спрощення:

Момент інерції твердого циліндра відносно осьової осі

Для цього об'єкта використовується метод, подібний до сфери, тільки цього разу простіше, якщо циліндр, як уявляють, складається з циліндричних оболонок радіусом r, товщиною dr і висотою H, як би шарами цибулі. .

Малюнок 6. Геометрія для обчислення моменту інерції твердого циліндра радіусом R відносно осьової осі. Джерело: Сервей, Р. 2018. Фізика для науки та техніки. Том 1. Звірка.

Об'єм dV циліндричного шару становить:

Тому маса оболонки:

Цей вираз заміщений у визначенні моменту інерції:

Наведене рівняння вказує, що інерційний момент циліндра залежить не від його довжини, а лише від його маси та радіусу. Якби L змінився, момент інерції щодо осьової осі залишився б колишнім. З цієї причини I циліндр збігається з попередньо обчисленим тонким диском.

Момент інерції прямокутного листа щодо осі, що проходить через його центр

Горизонтальну вісь y вибрано як вісь обертання. На малюнку нижче показана геометрія, необхідна для здійснення інтеграції:

Малюнок 7. Геометрія для обчислення моменту інерції прямокутної пластини відносно осі, паралельної аркушу та проходить через її центр. Джерело: Ф. Сапата.

Елемент області, позначений червоним кольором, є прямокутним. Її площа є базовою х висотою, отже:

Тому різниця мас є:

Що стосується відстані від елемента області до осі обертання, то воно завжди z. Все це підміняємо інтегралом моменту інерції:

Тепер щільність поверхневої маси σ замінюється на:

І це однозначно виглядає так:

Зауважте, що це як тонка смужка.

Момент інерції квадратного аркуша щодо осі, що проходить через його центр

Для квадрата зі стороною L у попередньому виразі, що діє для прямокутника, просто замініть значення b на значення L:

Момент теорії інерції

Існує дві особливо корисні теореми для спрощення обчислення інерційних моментів відносно інших осей, які в іншому випадку можуть бути важко знайти через відсутність симетрії. Ці теореми:

Теорема Штейнера

Також називається теоремою про паралельні осі, вона пов'язує інерційний момент відносно осі з іншою, яка проходить через центр маси об’єкта, доки осі паралельні. Для його застосування необхідно знати відстань D між обома осями і звичайно масу M об’єкта.

Нехай I _z - момент інерції об'єкта, розширений відносно осі z, я _СМ - момент інерції відносно осі, яка проходить через центр маси (СМ) зазначеного об'єкта, тоді переконається, що:

Або у позначенні наступного малюнка: I _{z '} = I _z + Md ²

Малюнок 8. Теорема Штейнера або паралельні осі. Джерело: Wikimedia Commons. Джек Див

Теорема перпендикулярних осей

Ця теорема застосовується до плоских поверхонь і виходить так: момент інерції плоского предмета навколо перпендикулярної до нього осі є сумою моментів інерції навколо двох осей, перпендикулярних першій осі:

Малюнок 9. Теорема перпендикулярних осей. Джерело: Ф. Сапата.

Якщо об'єкт має симетрію такою, що I _x і I _y рівні, то це правда, що:

Вправа вирішена

Знайдіть момент інерції бруска відносно осі, яка проходить через один з його кінців, як показано на рисунку 1 (внизу та праворуч) та на рисунку 10.

Малюнок 10. Момент інерції однорідного бруска навколо осі, що проходить через один кінець. Джерело: Ф. Сапата.

Рішення:

У нас вже є момент інерції бруска навколо осі, яка проходить через його геометричний центр. Оскільки брусок є однорідним, то його центр маси знаходиться в цій точці, тож це буде наш I _СМ, щоб застосувати теорему Штейнера.

Якщо довжина бруска L, вісь z знаходиться на відстані D = L / 2, отже:

Список літератури

1. Bauer, W. 2011. Фізика для інженерії та наук. Том 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Рекс, А. 2011. Основи фізики. Пірсон. 190-200.
3. Теорема паралельної осі. Відновлено: гіперфізика.фі-астр.гсу.еду.
4. Сервей, Р. 2018. Фізика для науки та техніки. Том 1. Звірка.
5. Університет Севільї. Момент інерції сферичних твердих тіл. Відновлено з: laplace.us.es.
6. Університет Севільї. Момент інерції системи частинок. Відновлено з: laplace.us.es.
7. Вікіпедія. Теорема про паралельну вісь. Відновлено з: en.wikipedia.org