ОДНОВИМІРНІ ХВИЛІ: МАТЕМАТИЧНИЙ ВИРАЗ ТА ПРИКЛАДИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Одновимірні хвилі - це ті, що поширюються лише в одному напрямку, незалежно від того, відбувається вібрація в одному напрямку поширення чи ні. Хорошим прикладом цього є хвиля, яка проходить через тугу струну, як у гітари.

У поперечній площині хвилі частинки вібрують у вертикальному напрямку (вони піднімаються і падають; див. Червону стрілку на рисунку 1), але вона є одновимірною, оскільки збудження рухається лише в одному напрямку, слідуючи за жовтою стрілкою.

Рисунок 1: Зображення являє собою одновимірну хвилю. Зауважте, що хребти та долини утворюють лінії, паралельні одна одній та перпендикулярні напрямку поширення. Джерело: саморобний.

Одновимірні хвилі з’являються досить часто в повсякденному житті. У наступному розділі описано кілька прикладів їх, а також хвиль, які не є одновимірними, щоб чітко встановити відмінності.

Приклади одновимірних хвиль та невимірних хвиль

Одновимірні хвилі

Ось кілька прикладів одновимірних хвиль, які легко спостерігати:

- Імпульс звуку, який рухається по прямій смузі, оскільки це порушення, яке поширюється по всій довжині смуги.

- Хвиля, яка рухається через водний канал, навіть коли зміщення водної поверхні не паралельне каналу.

- Хвилі, що поширюються на поверхні або через тривимірний простір, також можуть бути одновимірними, якщо їх хвильові фронти є площинами, паралельними один одному і рухаються лише в одному напрямку.

Невимірні хвилі

Приклад невимірної хвилі знаходимо у хвилях, які утворюються на нерухомій водної поверхні при падінні каменю. Це двовимірна хвиля з циліндричною хвилею.

Малюнок 2. Зображення являє собою приклад того, що одновимірна хвиля НЕ. Зауважимо, що гребені та долини утворюють кола, а напрямок поширення радіальний назовні, то це кругла двовимірна хвиля. Джерело: Pixabay.

Інший приклад невимірної хвилі - це звукова хвиля, яку генерує петарда, вибухаючи на певній висоті. Це тривимірна хвиля зі сферичними хвильовими фронтами.

Математичний вираз одновимірної хвилі

Найбільш загальним способом вираження одновимірної хвилі, яка поширюється без загасання в позитивному напрямку осі xy зі швидкістю v, математично:

У цьому виразі y являє собою порушення в положенні x в момент t. Форма хвилі задається функцією f. Наприклад, хвильова функція, показана на рисунку 1, є: y (x, t) = cos (x - vt), а зображення хвилі відповідає миттю t = 0.

Подібна хвиля, описана косинусом або синусоїдою, називається гармонічною хвилею. Хоча це не єдина форма хвилі, яка існує, вона є надзвичайно важливою, оскільки будь-яка інша хвиля може бути представлена ​​як суперпозиція або сума гармонічних хвиль. Це відома теорема Фур'є, настільки широко використовується для опису сигналів усіх видів.

Коли хвиля рухається в негативному напрямку осі x, просто змініть аргумент v на -v, залишивши:

На малюнку 3 показана анімація хвилі, яка рухається зліва: це форма, яка називається функцією Лоренціана, і її математичний вираз:

У цьому прикладі швидкість поширення v = 1, -одна одиниця простору для кожної одиниці часу-.

Малюнок 3. Приклад лоренцької хвилі, яка рухається ліворуч зі швидкістю v = 1. Джерело: Підготував Ф. Сапата з Геогебри.

Одновимірне хвильове рівняння

Хвильове рівняння - це часткове похідне рівняння, рішенням якого, звичайно, є хвиля. Він встановлює математичну залежність між просторовою частиною та її часовою частиною та має вигляд:

Працював приклад

Далі йде загальний вираз y (x, t) для гармонічної хвилі:

а) Охарактеризуйте фізичне значення параметрів A, k, ω і θo.

б) Яке значення мають знаки ± в аргументі косинуса?

в) Перевірте, що даний вираз справді є рішенням хвильового рівняння попереднього розділу і знайдіть швидкість v поширення.

Рішення для)

Характеристики хвилі знаходимо в таких параметрах:

Друга похідна відносно t: ∂ ² та / ∂t ² = -ω ² . A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Ці результати підміняються хвильовим рівнянням:

І А, і косинус спрощені, оскільки вони виявляються по обидва боки рівності, а аргумент косинусу однаковий, тому вираз зводиться до:

Що дозволяє отримати рівняння для v в частині ω і k:

Список літератури

1. Електронна освіта. Рівняння одновимірних гармонічних хвиль. Відновлено з: e-ducativa.catedu.es
2. Куточок фізики. Хвильові заняття. Відновлено з: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Фігероа, Д. 2006. Хвилі та квантова фізика. Серія: Фізика для науки та техніки. Під редакцією Дугласа Фігероа. Університет Саймона Болівара. Каракас Венесуела.
4. Лабораторія фізики. Хвильовий рух. Відновлено з сайту: fisicalab.com.
5. Перс, А. Лекція 21: Одновимірне хвильове рівняння: Рішення Д'Аламберта. Відновлено: ubc.ca.
6. Хвильове рівняння. Відновлено з: en.wikipedia.com