ПОЛІТРОПНИЙ ПРОЦЕС: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ЗАСТОСУВАННЯ ТА ПРИКЛАДИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Політропи процес є термодинамічним процесом , який відбувається , коли залежність між тиском Р і обсягом V задається PV ^п підтримується постійною. Експонент n - це дійсне число, як правило, між нулем і нескінченністю, але в деяких випадках воно може бути від'ємним.

Значення n називається індексом політропії, і важливо зазначити, що під час політропного термодинамічного процесу зазначений індекс повинен підтримувати фіксовану величину, інакше процес не вважатиметься політропним.

Малюнок 1. Характерне рівняння політропного термодинамічного процесу. Джерело: Ф. Сапата.

Характеристика політропних процесів

Деякі характерні випадки політропних процесів:

- Ізотермічний процес (при постійній температурі Т), при якому показник дорівнює n = 1.

- Ізобаричний процес (при постійному тиску Р), в цьому випадку n = 0.

- Ізохорний процес (при постійному об'ємі V), для якого n = + ∞.

- Аддіабатичні процеси (при постійній ентропії S), в яких показник дорівнює n = γ, де γ - адіабатична константа. Ця константа є коефіцієнтом між теплоємністю при постійному тиску Cp, поділеній на теплоємність при постійному об'ємі Cv:

γ = Cp / Cv

- Будь-який інший термодинамічний процес, який не є одним із попередніх випадків. але те, що відповідає PV ⁿ = ctte з реальним і постійним політропним індексом n, також буде політропним процесом.

Малюнок 2. Різні характерні випадки політропних термодинамічних процесів. Джерело: Wikimedia Commons.

Програми

Одне з головних застосувань політропного рівняння - обчислити роботу, виконану закритою термодинамічною системою, коли вона переходить від початкового стану до кінцевого стану квазістатичним способом, тобто після послідовності станів рівноваги.

Робота над політропними процесами для різних значень n

Для n ≠ 1

Механічна робота W, виконувана закритою термодинамічною системою, обчислюється виразом:

W = ∫P.dV

Де P - тиск, а V - об'єм.

Як і у випадку з політропним процесом, співвідношення між тиском і об'ємом є:

У нас проводиться механічна робота під час політропного процесу, який починається у початковому стані 1 і закінчується у кінцевому стані 2. Все це відображається у наступному виразі:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Підставляючи значення константи в робочому виразі, отримуємо:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

У випадку, якщо робочу речовину можна змоделювати як ідеальний газ, ми маємо наступне рівняння стану:

PV = mRT

Де m - кількість молей ідеального газу, а R - універсальна константа газу.

Для ідеального газу, який слідує за політропним процесом з індексом політропії, відмінним від єдності, і який переходить із стану з початковою температурою T ₁ в інший стан з температурою T ₂ , виконана робота проводиться за такою формулою:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

Для n → ∞

Відповідно до формули роботи, отриманої в попередньому розділі, маємо, що робота політропного процесу з n = ∞ є нульовою, оскільки вираз твору ділиться на нескінченність і тому результат прагне до нуля .

Іншим способом досягти цього результату є вихід із співвідношення P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , яке можна переписати так:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

Беручи n-й корінь у кожному члені, отримуємо:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

У випадку, якщо n → ∞, маємо (V ₂ / V1) = 1, це означає, що:

V ₂ = V ₁

Тобто об'єм не змінюється в політропному процесі з n → ∞. Тому диференціальний об'єм dV в інтегралі механічної роботи дорівнює 0. Ці типи політропних процесів також відомі як ізохорні процеси або процеси постійного об'єму.

При n = 1

Знову маємо вираз вираз для роботи:

W = ∫P dV

У разі політропного процесу з n = 1 співвідношення між тиском і об'ємом становить:

PV = константа = C

Розв’язуючи P з попереднього виразу і замінюючи, ми виконали роботу, щоб перейти від початкового стану 1 до кінцевого стану 2:

Тобто:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

Як чітко визначені початковий і кінцевий стани, так буде і ctte. Тобто:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Нарешті, ми маємо наступні корисні вирази, щоб знайти механічну роботу замкнутої політропної системи, в якій n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Якщо робоча речовина складається з m молей ідеального газу, то можна застосовувати рівняння стану ідеального газу: PV = mRT

У цьому випадку, оскільки PV ₁ = ctte, маємо, що політропний процес з n = 1 є процесом при постійній температурі T (ізотермічний), так що можна отримати наступні вирази для роботи:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Малюнок 3. Плавильна бурулька, приклад ізотермічного процесу. Джерело: Pixabay.

Приклади політропних процесів

- Приклад 1

Припустимо, циліндр з рухомим поршнем наповнений одним кілограмом повітря. Спочатку повітря займає об'єм V ₁ = 0,2 м ³ при тиску Р ₁ = 400 кПа. Проводиться політропний процес з n = γ = 1,4, кінцевий стан якого має тиск P ₂ = 100 кПа. Визначте роботу, яку виконує повітря на поршні.

Рішення

Коли показник політропії дорівнює адіабатичній постійній, відбувається процес, при якому робоча речовина (повітря) не обмінюється теплом з навколишнім середовищем, а отже, і ентропія не змінюється.

Для повітря, діатомового ідеального газу, ми маємо:

γ = Cp / Cv, при Cp = (7/2) R і Cv = (5/2) R

Так:

γ = 7/5 = 1,4

Використовуючи вираз політропного процесу, можна визначити кінцевий об'єм повітря:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 м ³ .

Тепер ми маємо умови застосувати формулу роботи, виконаної в політропному процесі, для n ≠ 1, отриманої вище:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Підставляючи відповідні значення, ми маємо:

W = (100 кПа 0,54 м ³ - 400 кПа 0,2 м ³ ) / (1 - 1,4) = 65,4 кДж

- Приклад 2

Припустимо той самий циліндр із прикладу 1 з рухомим поршнем, наповненим одним кілограмом повітря. Спочатку повітря займає об'єм V1 = 0,2 м ³ при тиску Р1 = 400 кПа. Але на відміну від попереднього випадку повітря розширюється ізотермічно для досягнення кінцевого тиску Р2 = 100 кПа. Визначте роботу, яку виконує повітря на поршні.

Рішення

Як було показано раніше, ізотермічні процеси - це політропні процеси з індексом n = 1, тому вірно, що:

P1 V1 = P2 V2

Таким чином, остаточний об'єм можна легко відокремити, щоб отримати:

V2 = 0,8 м ³

Тоді, використовуючи робочий вираз, отриманий раніше для випадку n = 1, маємо, що робота, виконана повітрям на поршні в цьому процесі:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Па × 0,2 м ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 кДж.

Список літератури

1. Bauer, W. 2011. Фізика для інженерії та наук. Том 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Термодинаміка. 7-е видання. McGraw Hill.
3. Фігероа, Д. (2005). Серія: Фізика для науки та техніки. Том 4. Рідини та термодинаміка. Під редакцією Дугласа Фігероа (USB).
4. Лопес, C. Перший закон термодинаміки. Відновлено з: culturacientifica.com.
5. Найт, Р. 2017. Фізика для вчених та інженерія: стратегічний підхід. Пірсон.
6. Сервей, Р., Вулле, C. 2011. Основи фізики. 9-е видання.
7. Університет Севільї. Теплові машини. Відновлено з: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Політропний процес. Відновлено з: wikiwand.com.