АСОЦІАТИВНА ВЛАСТИВІСТЬ: ДОДАВАННЯ, МНОЖЕННЯ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Асоціативне властивість складання являє собою асоціативний характер операції додавання в різних математичних множинах. У ньому три (або більше) елементів цих множин пов'язані між собою, називаються a, b і c, так що це завжди вірно:

a + (b + c) = (a + b) + c

Таким чином гарантується, що незалежно від способу групування для проведення операції результат буде однаковим.

Малюнок 1. Ми багато разів використовуємо асоціативну властивість додавання при виконанні арифметичних та алгебраїчних операцій. (Малюнок: freepik Склад: Ф. Сапата)

Але слід зазначити, що асоціативна властивість не є синонімом комутативної властивості. Тобто ми знаємо, що порядок додавання не змінює суму або що порядок факторів не змінює добуток. Тож для суми її можна записати так: a + b = b + a.

Однак у асоціативної властивості вона різна, оскільки зберігається порядок додавання елементів і які зміни - операція, яка виконується першою. Що означає, що додавання першого (b + c) та додавання a до цього результату не має значення, ніж почати додавати a з до результату додавання c.

Багато важливих операцій, таких як додавання, є асоціативними, але не всі. Наприклад, при відніманні дійсних чисел буває так:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Якщо a = 2, b = 3, c = 1, то:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Асоціативна властивість множення

Як було зроблено для додавання, асоціативна властивість множення говорить про те, що:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

У випадку безлічі дійсних чисел легко перевірити, що це завжди так. Наприклад, використовуючи значення a = 2, b = 3, c = 1, маємо:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Реальні числа відповідають асоціативній властивості як додавання, так і множення. З іншого боку, в іншому наборі, такому як вектори, сума є асоціативною, але перехресний добуток чи векторний продукт - ні.

Застосування асоціативної властивості множення

Перевагою операцій, в яких виконується асоціативна властивість, є можливість групування найбільш зручним способом. Це набагато полегшує дозвіл.

Наприклад, припустимо, що в невеликій бібліотеці є 3 полиці з 5 полками кожна. У кожній полиці - 8 книг. Скільки всього книг?

Ми можемо виконати операцію так: загальна кількість книг = (3 х 5) х 8 = 15 х 8 = 120 книг.

Або так: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 книг.

Малюнок 2. Одне застосування асоціативної властивості множення - обчислити кількість книг на кожній полиці. Образ, створений Ф. Сапатою.

Приклади

-У множинах натуральних, цілих, раціональних, дійсних і складних чисел виконується асоціативна властивість додавання і множення.

Малюнок 3. Для дійсних чисел виконується асоціативна властивість додавання. Джерело: Wikimedia Commons.

-Для поліномів вони також застосовуються в цих операціях.

-У випадках операцій віднімання, ділення та експоненціації асоціативна властивість не втримується для дійсних чисел або многочленів.

-У випадку матриць асоціативна властивість виконується для додавання та множення, хоча в останньому випадку комунікативність не виконується. Це означає, що, враховуючи матриці A, B і C, вірно, що:

(A x B) x C = A x (B x C)

Але … A x B ≠ B x A

Асоціативна властивість у векторах

Вектори утворюють інший набір, ніж реальні числа чи складні числа. Операції, визначені для набору векторів, дещо відрізняються: є додавання, віднімання та три види продуктів.

Сума векторів відповідає асоціативній властивості, як і числа, поліноми та матриці. Щодо скалярних добутків, скалярних за вектором та поперечним кроком, які робляться між векторами, останній його не виконує, але скалярний продукт, який є іншим видом операції між векторами, виконує його, беручи до уваги наступне:

-Продукт скаляра і вектора призводить до вектора.

-А коли скалярно множиться два вектори, виходить скалярний результат.

Тому, враховуючи вектори v , u і w, а також додатково скалярний λ, можна записати:

- Сума векторів: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Скалярний добуток: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Останнє можливо завдяки тому, що v • u - скаляр, а λ v - вектор.

Однак:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Факторизація многочленів шляхом групування доданків

Цей додаток дуже цікавий, оскільки, як було сказано раніше, асоціативна властивість допомагає вирішити певні проблеми. Сума одночленів асоціативна, і це можна використовувати для факторингу, коли очевидний загальний фактор не з’являється на перший погляд.

Наприклад, припустімо, що вас попросять розподілити: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Цей многочлен не має спільного фактора, але давайте подивимося, що станеться, якщо він згрупований так:

Перша дужка має загальний коефіцієнт осі ² :

У другому загальним фактором є 3:

Вправи

- Вправа 1

Будівля школи має 4 поверхи і в кожному є 12 класних кімнат з 30 столами всередині. Скільки письмових столів має школа?

Рішення

Ця проблема вирішується шляхом застосування асоціативної властивості множення, подивимось:

Загальна кількість пар = 4 поверхи x 12 аудиторій / підлога x 30 пар / аудиторія = (4 x 12) x 30 столів = 48 x 30 = 1440 парти.

Або якщо ви віддаєте перевагу: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 письмових столів

- Вправа 2

Дано многочлени:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Застосуйте асоціативну властивість додавання, щоб знайти A (x) + B (x) + C (x).

Рішення

Можна згрупувати перші два та до результату додати третю:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Відразу додається поліном C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Читач може переконатися, що результат однаковий, якщо він розв'язаний опцією A (x) +.

Список літератури

1. Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
2. Математика - це весело, закони про комунікативність, асоціативність та розповсюдження. Відновлено з: mathisfun.com.
3. Склад математики. Визначення асоціативної власності. Відновлено з: mathwarehouse.com.
4. Наукові роботи. Асоціативна та комутативна властивість додавання та множення (із прикладами). Відновлено: sciaching.com.
5. Вікіпедія. Асоціативна власність. Відновлено з: en.wikipedia.org.