ЩО ТАКЕ КОСИЙ ТРИКУТНИК? (З ВПРАВАМИ) - МАТЕМАТИКА - 2024

У Похилі трикутники ті трикутники, які не є прямокутниками. Іншими словами, трикутники такі, що жоден їх кут не є прямим кутом (їх міра 90º).

Оскільки у них немає прямих кутів, то теорема Піфагора не може бути застосована до цих трикутників.

Тому для того, щоб знати дані в косому трикутнику, необхідно використовувати інші формули.

Формули, необхідні для розв’язання косого трикутника, - це так звані закони синусів і косинусів, які будуть описані далі.

Окрім цих законів, завжди можна використовувати той факт, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º.

Косий трикутник

Як було сказано на початку, косий трикутник - це такий трикутник, що жоден з його кутів не вимірює 90º.

Проблема знаходження довжин сторін косого трикутника, а також знаходження мір його кутів називається "розв’язуванням косих трикутників".

Важливим фактом при роботі з трикутниками є те, що сума трьох внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º. Це загальний результат, тому для косих трикутників його також можна застосувати.

Закони синусів і косинусів

Дано трикутник ABC зі сторонами довжини "a", "b" та "c":

- Закон синусів говорить, що a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), де A, B і C - протилежні кути до «a», «b» і «c »Відповідно.

- Закон косинусів говорить, що: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Еквівалентно можна використовувати такі формули:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) або a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

За допомогою цих формул можна обчислити дані для косого трикутника.

Вправи

Нижче наведено деякі вправи, де потрібно знайти відсутні дані даних трикутників, виходячи з певних даних, що надаються.

Перша вправа

Давши трикутник ABC таким, що A = 45º, B = 60º і a = 12 см, обчисліть інші дані трикутника.

Рішення

Використовуючи, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º, маємо це

C = 180º-45º-60º = 75º.

Три кути вже відомі. Затем закон синусів використовується для обчислення двох відсутніх сторін.

Рівняння, що виникають: 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

З першої рівності ми можемо вирішити для «b» і отримати це

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696см.

Ми також можемо вирішити для «c» і отримати це

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392см.

Друга вправа

Дано трикутник ABC таким, що A = 60º, C = 75º і b = 10см, обчисліть інші дані трикутника.

Рішення

Як і в попередній вправі, B = 180º-60º-75º = 45º. Крім того, використовуючи закон синусів, ми маємо, що a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), з якого виходить, що a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 см і c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 див.

Третя вправа

Дано трикутник ABC таким, що a = 10см, b = 15см і С = 80º, обчисліть інші дані трикутника.

Рішення

У цій вправі відомий лише один кут, тому його не можна починати, як у попередніх двох вправах. Крім того, закон синусів не може бути застосований, оскільки жодне рівняння не може бути розв'язане.

Тому ми переходимо до застосування закону косинусів. Саме тоді це

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 см,

так що c ≈ 16,51 см. Тепер, знаючи 3 сторони, використовується закон синусів, і виходить, що

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51cm / sin (80º).

Отже, розв’язування для B призводить до sin (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, з чого випливає, що B ≈ 63.38º.

Тепер ми можемо отримати, що А = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Четверта вправа

Сторони косого трикутника а = 5см, b = 3см, с = 7см. Знайдіть кути трикутника.

Рішення

Знову ж, закон синусів не може бути застосований безпосередньо, оскільки жодне рівняння не послужило б для отримання значення кутів.

Використовуючи закон косинусу, маємо, що c² = a² + b² - 2ab cos (C), з якого при розв’язуванні маємо, що cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 і тому C = 120º.

Тепер, якщо ми можемо застосувати закон синусів і, таким чином, отримати 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), звідки ми можемо вирішити для B і отримати цей гріх (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, так що B = 21,79º.

Нарешті, останній кут обчислюють, використовуючи, що А = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Список літератури

1. Ландаверде, Ф. д. (1997). Геометрія (перевидання ред.). Прогрес.
2. Лік, Д. (2006). Трикутники (ілюстрована ред.). Хайеман-Рейнтрі.
3. Перес, CD (2006). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Геометрії. CR технологія.
5. Салліван, М. (1997). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.
6. Салліван, М. (1997). Тригонометрія та аналітична геометрія. Пірсон освіта.