ЩО ТАКЕ КОПЛАНАРНІ ВЕКТОРИ? (З РОЗВ’ЯЗАНИМИ ВПРАВАМИ) - ФІЗИЧНІ - 2025

Ці вектори планарних або в одній площині є ті , які містяться в одній і тій же площині. Коли є лише два вектори, вони завжди копланарні, оскільки існують нескінченні площини, завжди можна вибрати той, який їх містить.

Якщо у вас є три або більше векторів, можливо, деякі з них не знаходяться в тій же площині, що й інші, тому їх не можна вважати копланарними. На наступному малюнку показаний набір копланарних векторів, позначених жирними шрифтами A , B , C і D :

Малюнок 1. Чотири копланарних вектора. Джерело: саморобний.

Вектори пов'язані з поведінкою та властивостями фізичних величин, що мають відношення до науки та техніки; наприклад швидкість, прискорення і сила.

Сила справляє різні ефекти на об'єкт, коли спосіб його застосування змінюється, наприклад, змінюючи інтенсивність, напрямок та напрямок. Навіть змінюючи лише один з цих параметрів, результати значно відрізняються.

У багатьох програмах, як в статиці, так і в динаміці, сили, що діють на тіло, знаходяться на одній площині, тому їх вважають копланарними.

Умови, щоб вектори були копланарними

Для того, щоб три вектори були копланарними, вони повинні лежати на одній площині, і це відбувається, якщо вони відповідають одному з наступних умов:

-Вектори паралельні, тому їх компоненти пропорційні та лінійно залежні.

-Ваш змішаний продукт недійсний.

-Якщо у вас є три вектори і будь-який з них можна записати як лінійну комбінацію двох інших, ці вектори є копланарними. Наприклад, вектор, який є результатом суми двох інших, трьох - в одній площині.

Альтернативно, умову копланарності можна встановити наступним чином:

Змішаний продукт між трьома векторами

Змішаний добуток між векторами визначається трьома векторами u , v і w, в результаті чого виникає скаляр, що є результатом виконання наступної операції:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Спочатку виконується поперечний добуток, що знаходиться в дужках: v x w , результат якого є нормальним вектором (перпендикулярним) до площини, в якій лежать і v, і w .

Якщо u знаходиться на тій самій площині, що і v і w , природно скалярний добуток (крапковий добуток) між u та вказаним нормальним вектором повинен бути 0. Таким чином перевіряється, що три вектори є копланарними (вони лежать на одній площині).

Коли змішаний добуток не дорівнює нулю, його результат дорівнює об'єму паралелепіпеда, який має вектори u , v і w як сусідні сторони.

Програми

Копланарні, одночасні та неколінеарні сили

Усі паралельні сили застосовуються в одній точці. Якщо вони також є копланарними, їх можна замінити одиничною, яка називається результуючою силою і має такий же ефект, що і вихідні сили.

Якщо тіло знаходиться в рівновазі завдяки трьом копланарним, паралельним та неколінеарним (не паралельним) силам, званим A , B і C, теорема Ламі вказує, що взаємозв'язок між цими силами (величинами) такий:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

З α, β і γ як протилежні кути до прикладених сил, як показано на наступному малюнку:

Малюнок 2. Три об'єднані сили A, B і C діють на об’єкт. Джерело: Kiwakwok в англійській Вікіпедії

Розв’язані вправи

-Вправа 1

Знайдіть значення k так, щоб наступні вектори були копланарними:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Рішення

Оскільки у нас є компоненти векторів, використовується критерій змішаного продукту, отже:

u ( v x w ) = 0

Розв’яжіть спочатку v x w. Вектори будуть виражені через одиничні вектори i , j та k, які розрізняють три перпендикулярні напрямки в просторі (ширина, висота та глибина):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Тепер ми розглянемо скалярний добуток між u та вектором, що був результатом попередньої операції, встановивши операцію рівній 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Шукане значення дорівнює: k = - 6

Отже, вектор u :

u = <-3, -6, 2>

-Вправа 2

На малюнку зображено предмет, вага якого W = 600 Н, що висить у рівновазі завдяки кабелям, розміщеним під кутами, показаними на рисунку 3. Чи можна застосувати теорему Ламі в цій ситуації? У будь-якому випадку знайдіть величини T ₁ , T ₂ і T _3, які роблять можливою рівновагу.

Малюнок 3. Вага висить у рівновазі під дією трьох наведених напружень. Джерело: саморобний.

Рішення

Теорема Ламі застосовна в цій ситуації, якщо розглядати вузол, на який застосовуються три напруги, оскільки вони складають систему копланарних сил. Спочатку складається діаграма вільного тіла для підвісної ваги, щоб визначити величину T _3:

Малюнок 4. Діаграма вільного тіла для підвішування ваги. Джерело: саморобний.

З умови рівноваги випливає, що:

Кути між силами позначені червоним кольором на наступному малюнку, можна легко перевірити, що їх сума дорівнює 360º. Тепер можна застосувати теорему Ламі, оскільки одна з сил і три кути між ними відомі:

Малюнок 5.- Червоними кутами застосувати теорему Ламі. Джерело: саморобний.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Тому: T ₁ = sin 127º (Вт / син 106º) = 498,5 Н

Знову застосовується теорема Ламі для розв’язування для T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Список літератури

1. Фігероа, Д. Серія: Фізика для наук та техніки. Том 1. Кінематика. 31-68.
2. Фізичні. Модуль 8: Вектори. Відновлено з: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Механіка для інженерів. Статичний 6-е видання. Континентальна видавнича компанія.- 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Механіка для інженерів: статика та динаміка. 3-е видання. McGraw Hill. 1-15.
5. Вікіпедія. Вектор. Відновлено з: es.wikipedia.org.