- Умови, щоб вектори були копланарними
- Змішаний продукт між трьома векторами
- Програми
- Копланарні, одночасні та неколінеарні сили
- Розв’язані вправи
- -Вправа 1
- Рішення
- -Вправа 2
- Рішення
- Список літератури
Ці вектори планарних або в одній площині є ті , які містяться в одній і тій же площині. Коли є лише два вектори, вони завжди копланарні, оскільки існують нескінченні площини, завжди можна вибрати той, який їх містить.
Якщо у вас є три або більше векторів, можливо, деякі з них не знаходяться в тій же площині, що й інші, тому їх не можна вважати копланарними. На наступному малюнку показаний набір копланарних векторів, позначених жирними шрифтами A , B , C і D :
Малюнок 1. Чотири копланарних вектора. Джерело: саморобний.
Вектори пов'язані з поведінкою та властивостями фізичних величин, що мають відношення до науки та техніки; наприклад швидкість, прискорення і сила.
Сила справляє різні ефекти на об'єкт, коли спосіб його застосування змінюється, наприклад, змінюючи інтенсивність, напрямок та напрямок. Навіть змінюючи лише один з цих параметрів, результати значно відрізняються.
У багатьох програмах, як в статиці, так і в динаміці, сили, що діють на тіло, знаходяться на одній площині, тому їх вважають копланарними.
Умови, щоб вектори були копланарними
Для того, щоб три вектори були копланарними, вони повинні лежати на одній площині, і це відбувається, якщо вони відповідають одному з наступних умов:
-Вектори паралельні, тому їх компоненти пропорційні та лінійно залежні.
-Ваш змішаний продукт недійсний.
-Якщо у вас є три вектори і будь-який з них можна записати як лінійну комбінацію двох інших, ці вектори є копланарними. Наприклад, вектор, який є результатом суми двох інших, трьох - в одній площині.
Альтернативно, умову копланарності можна встановити наступним чином:
Змішаний продукт між трьома векторами
Змішаний добуток між векторами визначається трьома векторами u , v і w, в результаті чого виникає скаляр, що є результатом виконання наступної операції:
u · ( v x w ) = u · (v x w )
Спочатку виконується поперечний добуток, що знаходиться в дужках: v x w , результат якого є нормальним вектором (перпендикулярним) до площини, в якій лежать і v, і w .
Якщо u знаходиться на тій самій площині, що і v і w , природно скалярний добуток (крапковий добуток) між u та вказаним нормальним вектором повинен бути 0. Таким чином перевіряється, що три вектори є копланарними (вони лежать на одній площині).
Коли змішаний добуток не дорівнює нулю, його результат дорівнює об'єму паралелепіпеда, який має вектори u , v і w як сусідні сторони.
Програми
Копланарні, одночасні та неколінеарні сили
Усі паралельні сили застосовуються в одній точці. Якщо вони також є копланарними, їх можна замінити одиничною, яка називається результуючою силою і має такий же ефект, що і вихідні сили.
Якщо тіло знаходиться в рівновазі завдяки трьом копланарним, паралельним та неколінеарним (не паралельним) силам, званим A , B і C, теорема Ламі вказує, що взаємозв'язок між цими силами (величинами) такий:
A / sin α = B / sin β = C / sin γ
З α, β і γ як протилежні кути до прикладених сил, як показано на наступному малюнку:
Малюнок 2. Три об'єднані сили A, B і C діють на об’єкт. Джерело: Kiwakwok в англійській Вікіпедії
Розв’язані вправи
-Вправа 1
Знайдіть значення k так, щоб наступні вектори були копланарними:
u = <-3, k, 2>
v = <4, 1, 0>
w = <-1, 2, -1>
Рішення
Оскільки у нас є компоненти векторів, використовується критерій змішаного продукту, отже:
u ( v x w ) = 0
Розв’яжіть спочатку v x w. Вектори будуть виражені через одиничні вектори i , j та k, які розрізняють три перпендикулярні напрямки в просторі (ширина, висота та глибина):
v = 4 i + j + 0 k
w = -1 i + 2 j -1 k
v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k
Тепер ми розглянемо скалярний добуток між u та вектором, що був результатом попередньої операції, встановивши операцію рівній 0:
u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0
24 + 4k = 0
Шукане значення дорівнює: k = - 6
Отже, вектор u :
u = <-3, -6, 2>
-Вправа 2
На малюнку зображено предмет, вага якого W = 600 Н, що висить у рівновазі завдяки кабелям, розміщеним під кутами, показаними на рисунку 3. Чи можна застосувати теорему Ламі в цій ситуації? У будь-якому випадку знайдіть величини T 1 , T 2 і T 3, які роблять можливою рівновагу.
Малюнок 3. Вага висить у рівновазі під дією трьох наведених напружень. Джерело: саморобний.
Рішення
Теорема Ламі застосовна в цій ситуації, якщо розглядати вузол, на який застосовуються три напруги, оскільки вони складають систему копланарних сил. Спочатку складається діаграма вільного тіла для підвісної ваги, щоб визначити величину T 3:
Малюнок 4. Діаграма вільного тіла для підвішування ваги. Джерело: саморобний.
З умови рівноваги випливає, що:
Кути між силами позначені червоним кольором на наступному малюнку, можна легко перевірити, що їх сума дорівнює 360º. Тепер можна застосувати теорему Ламі, оскільки одна з сил і три кути між ними відомі:
Малюнок 5.- Червоними кутами застосувати теорему Ламі. Джерело: саморобний.
T 1 / sin 127º = W / sin 106º
Тому: T 1 = sin 127º (Вт / син 106º) = 498,5 Н
Знову застосовується теорема Ламі для розв’язування для T 2 :
T 2 / sin 127 = T 1 / sin 127º
T 2 = T 1 = 498,5 N
Список літератури
- Фігероа, Д. Серія: Фізика для наук та техніки. Том 1. Кінематика. 31-68.
- Фізичні. Модуль 8: Вектори. Відновлено з: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Механіка для інженерів. Статичний 6-е видання. Континентальна видавнича компанія.- 28-66.
- McLean, W. Schaum Series. Механіка для інженерів: статика та динаміка. 3-е видання. McGraw Hill. 1-15.
- Вікіпедія. Вектор. Відновлено з: es.wikipedia.org.