Щоб дізнатись, яка сума квадратів двох послідовних чисел , можна знайти формулу, за допомогою якої достатньо підставити числа, що беруть участь, щоб отримати результат.
Цю формулу можна знайти загальним способом, тобто її можна використовувати для будь-якої пари послідовних чисел.
Кажучи «послідовні числа», ви неявно говорите, що обидва числа - це цілі числа. І під «квадратиками» він має на увазі квадрати кожного числа.
Наприклад, якщо вважати числа 1 і 2, їх квадрати дорівнюють 1² = 1 і 2² = 4, тому сума квадратів дорівнює 1 + 4 = 5.
З іншого боку, якщо брати числа 5 і 6, їхні квадрати дорівнюють 5² = 25 і 6² = 36, при цьому сума квадратів становить 25 + 36 = 61.
Яка сума квадратів двох послідовних чисел?
Мета тепер - узагальнити те, що було зроблено в попередніх прикладах. Для цього необхідно знайти загальний спосіб записати ціле число та його послідовне ціле число.
Якщо ви подивитеся на два послідовних цілих числа, наприклад, 1 і 2, ви можете бачити, що 2 можна записати як 1 + 1. Також, якщо спостерігаються числа 23 і 24, робиться висновок, що 24 можна записати як 23 + 1.
Для негативних цілих чисел цю поведінку також можна перевірити. Дійсно, якщо вважати -35 та -36, видно, що -35 = -36 + 1.
Отже, якщо обрано будь-яке ціле число "n", то ціле число, послідовне до "n", є "n + 1". Таким чином, зв’язок між двома послідовними цілими числами вже встановлений.
Яка сума квадратів?
Враховуючи два послідовних цілих числа "n" і "n + 1", то їх квадрати - "n²" і "(n + 1) ²". Використовуючи властивості помітних продуктів, цей останній термін можна записати так:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1 .
Нарешті, сума квадратів двох послідовних чисел задається виразом:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 .
Якщо попередня формула детальна, видно, що достатньо лише знати найменше ціле число "n", щоб знати, яка сума квадратів, тобто достатньо лише використовувати найменше з двох цілих чисел.
Ще одна перспектива отриманої формули: вибрані числа множать, потім отриманий результат множать на 2 і, нарешті, додають 1.
З іншого боку, перше додавання праворуч - це парне число, а додавання 1 призведе до непарного. Це говорить про те, що результатом додавання квадратів двох послідовних чисел завжди буде непарне число.
Можна також зазначити, що оскільки додаються два числа у квадраті, то цей результат завжди буде позитивним.
Приклади
1.- Розглянемо цілі числа 1 і 2. Найменше ціле число - 1. Використовуючи попередню формулу, робимо висновок, що сума квадратів дорівнює: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Що узгоджується з підрахунками, зробленими на початку.
2.- Якщо взяти цілі числа 5 і 6, то сума квадратів буде 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, що також збігається з результатом, отриманим на початку.
3.- Якщо обрані цілі числа -10 і -9, то сума їх квадратів дорівнює: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.– Нехай цілі числа в цій можливості дорівнюють -1 і 0, тоді сума їх квадратів задається 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
Список літератури
- Bouzas, PG (2004). Алгебра середньої школи: кооперативна робота з математики. Видання Нарчі.
- Cabello, RN (2007). Повноваження та коріння. Публікуйте свої книги.
- Кабрера, В. М. (1997). Розрахунок 4000. Редакція Прогресо.
- Гевара, штат MH (другий). Набір цілих чисел. EUNED.
- Отейза, Е. д. (2003). Альбегра. Пірсон освіта.
- Smith, SA (2000). Алгебра. Пірсон освіта.
- Томсон. (2006). Проходження GED: Математика. Видавництво InterLingua