НОРМАЛЬНИЙ ВЕКТОР: РОЗРАХУНОК ТА ПРИКЛАД - ФІЗИЧНІ - 2025

Нормальний вектор є той , який визначає напрямок , перпендикулярний до деякої геометричної суті розглянутого, який може бути кривої, площині чи поверхні, наприклад.

Це дуже корисна концепція розташування рухомої частинки або якоїсь поверхні в просторі. На наступному графіку можна побачити, як виглядає нормальний вектор довільної кривої C:

Малюнок 1. Крива C з вектором, нормальним до кривої в точці P. Джерело: Svjo

Розглянемо точку P на кривій C. Точка може представляти рухому частинку, яка рухається по С-подібному шляху.Контактна лінія до кривої в точці P намальована червоним кольором.

Зауважте, що вектор T дотичний до C у кожній точці, тоді як вектор N перпендикулярний T і вказує на центр уявного кола, дуга якого є відрізком C. Вектори позначені жирним шрифтом у друкованому тексті, для відрізняти їх від інших не векторних величин.

Вектор T завжди вказує, куди рухається частинка, тому вказує на швидкість частинки. З іншого боку, вектор N завжди вказує у напрямку, в якому обертається частинка, таким чином він вказує на увігнутість кривої С.

Як дістати нормальний вектор до площини?

Нормальний вектор не обов'язково є одиничним вектором, тобто вектором, модуль якого дорівнює 1, але якщо так, він називається нормальним одиничним вектором.

Малюнок 2. Зліва площина P та два вектори, нормальні до зазначеної площини. Праворуч одиничні вектори в трьох напрямках, що визначають простір. Джерело: Wikimedia Commons. Див. Сторінку для автора

У багатьох програмах необхідно знати вектор, нормальний для площини, а не криву. Цей вектор розкриває орієнтацію зазначеної площини в просторі. Наприклад, розглянемо площину P (жовту) фігури:

На цю площину є два нормальних вектора: n ₁ і n ₂ . Використання тієї чи іншої буде залежати від контексту, в якому знаходиться зазначена площина. Отримати нормальний вектор до площини дуже просто, якщо відоме рівняння площини:

Тут вектор N виражається через вектори перпендикулярної одиниці i , j та k , спрямовані вздовж трьох напрямків, що визначають ксизовий простір, див. Рисунок 2 праворуч.

Нормальний вектор від векторного продукту

Дуже проста процедура пошуку нормального вектора використовує властивості векторного продукту між двома векторами.

Як відомо, три різні точки, не колінеарні одна одній, визначають площину P. Тепер можна отримати два вектори u і v, які належать до зазначеної площини, що має ці три точки.

Після отримання векторів векторний добуток u x v - це операція, результатом якої в свою чергу є вектор, який має властивість бути перпендикулярним до площини, визначеної u і v .

Відомий цей вектор, його позначають як N , і з нього можна буде визначити рівняння площини завдяки рівнянню, зазначеному в попередньому розділі:

N = u x v

Наступний малюнок ілюструє описану процедуру:

Малюнок 3. За допомогою двох векторів та їх векторного добутку чи хреста визначається рівняння площини, яка містить два вектори. Джерело: Wikimedia Commons. Не надано машиночитаного автора. М.Ромеро Шмідке припускав (на основі претензій щодо авторських прав).

Приклад

Знайдіть рівняння площини, визначену точками А (2,1,3); В (0,1,1); C (4.2.1).

Рішення

Ця вправа ілюструє описану вище процедуру. Маючи 3 бали, один із них вибирається як спільне походження двох векторів, що належать площині, визначеній цими точками. Наприклад, точка А задається як початок, і побудовані вектори AB і AC .

Вектор АВ - вектор, джерелом якого є точка А і кінцевою точкою якого є точка В. Координати вектора АВ визначаються відповідно відніманням координат В від координат А:

Так само поступаємо до знаходження вектора змінного струму :

Розрахунок векторного продукту

Існує кілька процедур, щоб знайти поперечний продукт між двома векторами. У цьому прикладі використовується мнемонічна процедура, яка використовує наступну фігуру для знаходження векторних добутків між одиничними векторами i , j та k:

Малюнок 4. Графік для визначення векторного добутку між одиничними векторами. Джерело: саморобний.

Для початку добре пам’ятати, що векторні добутки між паралельними векторами є нульовими, тому:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

А оскільки векторний добуток є ще одним вектором, перпендикулярним векторам-учасницям, рухаючись у напрямку червоної стрілки, ми маємо:

Якщо вам потрібно рухатись у зворотному напрямку до стрілки, додайте знак (-):

Всього можна зробити 9 векторних добутків з одиничними векторами i , j і k , з яких 3 будуть нульовими.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Рівняння площини

Вектор N визначався векторним продуктом, який раніше розраховували:

N = 2 i -8 j -2 k

Тому a = 2, b = -8, c = -2, шукана площина:

Значення d залишається визначити. Це легко, якщо значення будь-якої з доступних точок А, В або С замінені в рівнянні площини. Вибір C, наприклад:

х = 4; у = 2; z = 1

Залишки:

Коротше кажучи, шукана карта:

Допитливий читач може задатися питанням, чи був би отриманий такий самий результат, якби замість того, щоб робити AB x AC , було обрано робити AC x AB. Відповідь - так, площина, визначена цими трьома точками, є унікальною і має два нормальних вектора, як показано на малюнку 2.

Щодо точки, вибраної як джерело векторів, немає жодної проблеми у виборі двох інших.

Список літератури

1. Фігероа, Д. (2005). Серія: Фізика для науки та техніки. Том 1. Кінематика. Під редакцією Дугласа Фігероа (USB). 31- 62.
2. Пошук норми до площини. Відновлено з: web.ma.utexas.edu.
3. Ларсон, Р. (1986). Обчислення та аналітична геометрія. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Лінії та площини в R 3. Відновлено з: math.harvard.edu.
5. Нормальний вектор. Відновлено з mathworld.wolfram.com.