У вільних векторах є ті, які повністю визначається його величина, напрямок і зміст, не будучи необхідним , щоб вказати точку прикладання або певного походження.
Оскільки нескінченні вектори можна намалювати таким чином, вільний вектор - це не одне ціле, а сукупність паралельних і однакових векторів, незалежних від того, де вони є.
Малюнок 1. Різні вільні вектори. Джерело: саморобний.
Скажімо, у вас є кілька векторів магнітуди 3, спрямованих вертикально вгору, або магнітуди 5 і нахилених вправо, як на малюнку 1.
Жоден із цих векторів не застосовується спеціально в будь-якій точці. Тоді будь-який із синіх чи зелених векторів є репрезентативним для відповідної групи, оскільки їх характеристики - модуль, напрямок та сенс - зовсім не змінюються при перенесенні в інше місце в площині.
Вільний вектор зазвичай позначається у друкованому тексті жирною, малою літерою, наприклад v. Або з малої літери та стрілки над нею, якщо це рукописний текст .
Перевага вільних векторів полягає в тому, що вони можуть переміщуватися через площину або через простір і зберігати свої властивості, оскільки будь-який представник множини однаково справедливий.
Ось чому у фізиці та механіці вони часто використовуються. Наприклад, для позначення лінійної швидкості твердого тіла, яка перекладається, не потрібно вибирати конкретну точку на об'єкті. Отже, вектор швидкості веде себе як вільний вектор.
Ще один приклад вільного вектора - пара сил. Пара складається з двох сил однакової величини та напрямку, але протилежних напрямків, прикладених у різних точках на твердому тілі. Ефект пари полягає не в тому, щоб перемістити об’єкт, а викликати обертання завдяки створеному моменту.
На малюнку 2 показано пару сил, прикладених до рульового колеса. Через сили F 1 і F 2 створюється крутний момент, який обертає маховик навколо його центру і за годинниковою стрілкою.
Малюнок 2. Пару сил, прикладених до рульового колеса, надає йому поворот за годинниковою стрілкою. Джерело: Біласко.
Ви можете внести деякі зміни в крутний момент і все одно отримати той же обертовий ефект, наприклад, збільшуючи силу, але зменшуючи відстань між ними. Або підтримуйте силу та відстань, але застосуйте крутний момент на іншій парі точок на кермі, тобто обертайте крутний момент навколо центру.
Момент пари або просто пари - це вектор, модуль якого Fd і спрямований перпендикулярно площині маховика. У прикладі, показаному умовно, обертання годинникової стрілки має негативне напрямок.
Властивості та характеристики
На відміну від вільного вектора v, вектори AB і CD є фіксованими (див. Рисунок 3), оскільки вони мають задану початкову точку і точку прибуття. Але оскільки вони поблажливі між собою, і, в свою чергу, з вектором v , вони є представниками вільного вектора v .
Малюнок 3. Вільні вектори, командні вектори лінз та нерухомі вектори. Джерело: саморобний.
Основні властивості вільних векторів такі:
-Кожен вектор AB (див. Рисунок 2) є, як було сказано, представником вільного вектора v .
-Модуль, напрямок і сенс однакові у будь-якого представника вільного вектора. На малюнку 2 вектори AB і CD являють собою вільний вектор v і є об'єктивним лінзуванням.
-Подавши в просторі точку P, завжди можна знайти представника вільного вектора v , початок якого знаходиться в P, і цей представник унікальний. Це найважливіша властивість вільних векторів і те, що робить їх такими універсальними.
-Новий вільний вектор позначається як 0 і являє собою безліч всіх векторів, яким не вистачає величини, напрямку та сенсу.
-Якщо вектор AB являє собою вільний вектор v , то вектор BA являє собою вільний вектор - v .
-Позначення V 3 буде використовуватися для позначення набору всіх вільних векторів у просторі, а V 2 для позначення всіх вільних векторів у площині.
Розв’язані вправи
З вільними векторами можна виконати наступні операції:
-Sum
-Виймання
-Помноження скаляра вектором
-Скалярний продукт між двома векторами.
-Перехресний продукт між двома векторами
-Лінійна комбінація векторів
І більше.
-Вправа 1
Студент намагається переплисти з однієї точки на березі річки в іншу, що знаходиться прямо навпроти. Щоб досягти цього, він плаває безпосередньо зі швидкістю 6 км / год, в перпендикулярному напрямку, однак струм має швидкість 4 км / год, яка відхиляє його.
Обчисліть результуючу швидкість плавця і скільки він відхилений струмом.
Рішення
Отримана швидкість плавця - це векторна сума його швидкості (відносно річки, проведеної вертикально вгору) і швидкості річки (намальована зліва направо), яка здійснюється, як зазначено на малюнку нижче:
Величина отриманої швидкості відповідає наведеній гіпотенузі правильного трикутника, отже:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ км / год = 7,2 км / год
Напрямок можна обчислити за кутом відносно перпендикуляра до берега:
α = arctg (4/6) = 33,7º або 56,3º щодо берега.
Вправа 2
Знайдіть момент пари сил, показаний на рисунку:
Рішення
Момент обчислюється:
M = r x F
Одиниці моменту - фунт-фут. Фут. Оскільки пара знаходиться в площині екрана, момент спрямований перпендикулярно до неї, або назовні, або всередину.
Оскільки крутний момент у прикладі має тенденцію до обертання об'єкта, на який він застосовується (який не показаний на малюнку) за годинниковою стрілкою, цей момент вважається вказівним на екран і з негативним знаком.
Величина моменту M = Fdsen a, де a - кут між силою та вектором r. Ви повинні вибрати точку, щодо якої обчислити момент, який є вільним вектором. Вибрано походження системи відліку, тому r йде від O до точки прикладання кожної сили.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. фут = -8660,3 фунт-ф. стопа
Чистий момент - це сума M 1 і M 2 : -17329,5 фунт-ф. стопа.
Список літератури
- Беардон, Т. 2011. Вступ до векторів. Відновлено з: nrich.maths.org.
- Бедфорд, 2000. А. Інженерна механіка: статика. Аддісон Веслі. 38-52.
- Фігероа, Д. Серія: Фізика для наук та техніки. Том 1. Кінематика. 31-68.
- Фізичні. Модуль 8: Вектори. Відновлено з: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Механіка для інженерів. Статичний 6-е видання. Видавнича компанія «Континенталь». 15-53.
- Вектор калькулятор доповнення Відновлено: 1728.org
- Вектори. Відновлено з: en.wikibooks.org