ТЕОРЕМА НОРТОНА: ОПИС, ДОДАТКИ, ПРИКЛАДИ ТА ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Теорема Нортон , застосовується до електричних ланцюгів, встановлює лінійну ланцюг з двома терміналами а й б, може бути замінено іншим повністю еквівалентні, що складаються з джерела струму я виклик _НЕ підключений паралельно з опором R _Немає .

Згаданий струм I _Ні або I _N - той, який би протікав між точками a і b, якби вони були короткозамкненими. Опір R _N - еквівалентний опір між клемами, коли всі незалежні джерела відключаються. Все сказане викладено на рисунку 1.

Рисунок 1. Еквівалентна схема Нортона. Джерело: Wikimedia Commons. Драмкід

Чорна скринька на малюнку містить лінійну схему, яку слід замінити її еквівалентом Нортона. Лінійна схема - це схема, у якій вхід і вихід мають лінійну залежність, таку як співвідношення між напругою V і постійним струмом I в омічному елементі: V = IR

Цей вираз відповідає закону Ома, де R - опір, який також може бути імпедансом, якщо це ланцюг змінного струму.

Теорему Нортона розробив інженер-електрик та винахідник Едвард Л. Нортон (1898-1983), який тривалий час працював у Bell Labs.

Застосування теореми Нортона

Коли у вас дуже складні мережі, з багатьма опорами чи опорами, і ви хочете обчислити напругу між будь-яким з них або струмом, який протікає через нього, теорема Нортона спрощує обчислення, оскільки, як ми бачили, мережу можна замінити на менший і більш керований контур.

Таким чином теорема Нортона є дуже важливою при проектуванні схем з декількома елементами, а також для вивчення реакції на них.

Зв'язок між теоремами Нортона та Тевеніна

Теорема Нортона є двоїстою від теореми Тевеніна, що означає, що вони рівнозначні. Теорема Тевеніна стверджує, що чорний ящик на рисунку 1 може бути замінений послідовно джерелом напруги на резистор, який називається резистором Тевеніна R _Th . Це виражається на наступному малюнку:

Малюнок 2. Оригінальна схема зліва та її еквіваленти Тевеніна та Нортона. Джерело: Ф. Сапата.

Схема ліворуч - це початкова схема, лінійна мережа в чорному полі, схема А вгорі праворуч - еквівалент Тевеніна, а схема В - еквівалент Нортона, як описано. Якщо розглядати з клем a і b, три схеми рівнозначні.

Тепер зауважте, що:

-В початковій схемі напруга між клемами становить V _ab .

-V _ab = V _Th в ланцюзі A

-Закінчення V _ab = I _N .R _N у ланцюзі B

Якщо клеми a і b мають коротке замикання у всіх трьох контурах, слід переконатися, що напруга і струм між цими точками повинні бути однаковими для всіх трьох, оскільки вони рівноцінні. Так:

-В початковій схемі струм i.

-Для ланцюга A, струм i = V _Th / R _Th , згідно закону Ома.

-Закінчення в ланцюзі B струм I _N

Тому робиться висновок, що опори Нортона і Тевеніна мають однакове значення і що струм задається:

i = I _N = V _Th / R _Th = V _Th / R _N

Приклад

Щоб правильно застосувати теорему Нортона, виконуються наступні кроки:

-Ізолюйте від мережі ділянку ланцюга, для якої слід знайти еквівалент Нортона.

-У решті ланцюга вкажіть клеми a і b.

-Замініть джерела напруги для коротких замикань та джерел струму для відкритих ланцюгів, щоб знайти еквівалентний опір між клемами a і b. Це R _N .

-Поверніть усі джерела до вихідних положень, коротко замикайте клеми і знайдіть струм, який циркулює між ними. Це я _N .

-Намалюйте еквівалентну ланцюг Нортона відповідно до того, що зазначено на малюнку 1. І джерело струму, і еквівалентний опір паралельно.

Теорему Тевеніна можна також застосувати для знаходження R _{Th, для} якого ми вже знаємо, що дорівнює R _N , тоді за законом Ома ми можемо знайти I _N і перейти до складання отриманої схеми.

А тепер давайте подивимось приклад:

Знайдіть еквівалент Нортона між точками A і B наступного контуру:

Малюнок 3. Приклад схеми. Джерело: Ф. Сапата.

Частина схеми, еквівалент якої потрібно знайти, вже є ізольованою. І точки A і B чітко визначені. Далі йде коротке замикання на джерело 10 В і пошук еквівалентного опору отриманого контуру:

Малюнок 4. Джерело короткого замикання. Джерело: Ф. Сапата.

Якщо розглядати з клем A і B, обидва резистори R ₁ і R ₂ знаходяться паралельно, отже:

1 / R _eq = 1 / R ₁₂ = (1/4) + (1/6) Ω ^-1 = 5/12 Ω ^-1 → R _eq = 12/5 Ω = 2,4 Ω

Тоді джерело повертається на місце і в точках А і В замкнуті знайти струм , що протікає там, це буде I _N . В такому разі:

Рисунок 5. Схема для обчислення струму Нортона. Джерело: Ф. Сапата.

I _N = 10 В / 4 Ом = 2,5 А

Нортонський еквівалент

Нарешті, еквівалент Нортона складається з знайденими значеннями:

Малюнок 6. Нортонський еквівалент схеми на рисунку 3. Джерело: Ф. Сапата.

Вправа вирішена

У схемі наступного малюнка:

Малюнок 7. Схема для розв’язаної вправи. Джерело: Олександр, C. 2006. Основи електричних ланцюгів. 3-й. Видання. Mc Graw Hill.

а) Знайдіть еквівалентну нортонівську схему зовнішньої мережі до синього резистора.

b) Знайдіть також еквівалент Тевеніна.

Рішення для

Дотримуючись зазначених вище кроків, джерело повинно бути короткозамкненим:

Малюнок 8. Джерело короткого замикання в ланцюзі фігури 7. Джерело: Ф. Сапата.

Розрахунок RN

Якщо розглядати з клем A і B, резистор R ₃ послідовно з паралеллю, утвореною резисторами R ₁ і R ₂ , давайте спочатку обчислимо еквівалентний опір цієї паралелі:

І тоді ця паралель послідовно з R _3, тому еквівалентний опір:

Це значення як R _{N, так} і R _Th , як було пояснено раніше.

В розрахунку

Потім клеми A і B короткозамкнені, повертаючи джерело на своє місце:

Малюнок 9. Схеми для пошуку струму Нортона. Джерело: Ф. Сапата.

Струм через I ₃ - це струм , який шукається I _N , який можна визначити за допомогою сітчастого методу або з використанням серії та паралелі. У цьому ланцюзі R ₂ і R ₃ знаходяться паралельно:

Резистор R ₁ знаходиться в серії з цією паралеллю, то:

Струм, що виходить з джерела (синій колір), обчислюється за законом Ома:

Цей струм ділиться на дві частини: та, яка проходить через R _2, і другу, яка проходить через R ₃ . Однак струм, який проходить через паралельний R ₂₃ , такий самий, який проходить через R ₁ , як це можна побачити в проміжній схемі на малюнку. Напруга там:

Обидва резистори R ₂ і R ₃ знаходяться при цій напрузі, оскільки вони паралельні, тому:

У нас вже є струм Нортона, оскільки, як було сказано раніше, I ₃ = I _N , то:

Нортонський еквівалент

Все готове провести еквівалент Нортона цієї схеми між точками А і В:

Малюнок 10. Нортонський еквівалент схеми на рисунку 7. Джерело: Ф. Сапата.

Рішення b

Знайти еквівалент Тевеніна дуже просто, оскільки R _Th = R _N = 6 Ω і, як пояснено в попередніх розділах:

В _Th = I _Н . R _N = 1 А. 6 Ом = 6 В

Еквівалентна схема Тевена:

Малюнок 11. Технічний еквівалент схеми на рисунку 7. Джерело: Ф. Сапата.

Список літератури

1. Олександр, C. 2006. Основи електричних схем. 3-й. Видання. Mc Graw Hill.
2. Бойлестад, Р. 2011. Вступ до аналізу мікросхем. 2-й. Видання. Пірсон.
3. Dorf, R. 2006. Вступ до електричних ланцюгів. 7-й. Видання. Джон Вілі та сини.
4. Edminister, J. 1996. Електричні схеми. Серія Шаум. 3-й. Видання. Mc Graw Hill.
5. Вікіпедія. Теорема Нортона. Відновлено з: es.wikipedia.org.