- Застосування теореми Нортона
- Зв'язок між теоремами Нортона та Тевеніна
- Приклад
- Нортонський еквівалент
- Вправа вирішена
- Рішення для
- Розрахунок RN
- В розрахунку
- Нортонський еквівалент
- Рішення b
- Список літератури
Теорема Нортон , застосовується до електричних ланцюгів, встановлює лінійну ланцюг з двома терміналами а й б, може бути замінено іншим повністю еквівалентні, що складаються з джерела струму я виклик НЕ підключений паралельно з опором R Немає .
Згаданий струм I Ні або I N - той, який би протікав між точками a і b, якби вони були короткозамкненими. Опір R N - еквівалентний опір між клемами, коли всі незалежні джерела відключаються. Все сказане викладено на рисунку 1.
Рисунок 1. Еквівалентна схема Нортона. Джерело: Wikimedia Commons. Драмкід
Чорна скринька на малюнку містить лінійну схему, яку слід замінити її еквівалентом Нортона. Лінійна схема - це схема, у якій вхід і вихід мають лінійну залежність, таку як співвідношення між напругою V і постійним струмом I в омічному елементі: V = IR
Цей вираз відповідає закону Ома, де R - опір, який також може бути імпедансом, якщо це ланцюг змінного струму.
Теорему Нортона розробив інженер-електрик та винахідник Едвард Л. Нортон (1898-1983), який тривалий час працював у Bell Labs.
Застосування теореми Нортона
Коли у вас дуже складні мережі, з багатьма опорами чи опорами, і ви хочете обчислити напругу між будь-яким з них або струмом, який протікає через нього, теорема Нортона спрощує обчислення, оскільки, як ми бачили, мережу можна замінити на менший і більш керований контур.
Таким чином теорема Нортона є дуже важливою при проектуванні схем з декількома елементами, а також для вивчення реакції на них.
Зв'язок між теоремами Нортона та Тевеніна
Теорема Нортона є двоїстою від теореми Тевеніна, що означає, що вони рівнозначні. Теорема Тевеніна стверджує, що чорний ящик на рисунку 1 може бути замінений послідовно джерелом напруги на резистор, який називається резистором Тевеніна R Th . Це виражається на наступному малюнку:
Малюнок 2. Оригінальна схема зліва та її еквіваленти Тевеніна та Нортона. Джерело: Ф. Сапата.
Схема ліворуч - це початкова схема, лінійна мережа в чорному полі, схема А вгорі праворуч - еквівалент Тевеніна, а схема В - еквівалент Нортона, як описано. Якщо розглядати з клем a і b, три схеми рівнозначні.
Тепер зауважте, що:
-В початковій схемі напруга між клемами становить V ab .
-V ab = V Th в ланцюзі A
-Закінчення V ab = I N .R N у ланцюзі B
Якщо клеми a і b мають коротке замикання у всіх трьох контурах, слід переконатися, що напруга і струм між цими точками повинні бути однаковими для всіх трьох, оскільки вони рівноцінні. Так:
-В початковій схемі струм i.
-Для ланцюга A, струм i = V Th / R Th , згідно закону Ома.
-Закінчення в ланцюзі B струм I N
Тому робиться висновок, що опори Нортона і Тевеніна мають однакове значення і що струм задається:
i = I N = V Th / R Th = V Th / R N
Приклад
Щоб правильно застосувати теорему Нортона, виконуються наступні кроки:
-Ізолюйте від мережі ділянку ланцюга, для якої слід знайти еквівалент Нортона.
-У решті ланцюга вкажіть клеми a і b.
-Замініть джерела напруги для коротких замикань та джерел струму для відкритих ланцюгів, щоб знайти еквівалентний опір між клемами a і b. Це R N .
-Поверніть усі джерела до вихідних положень, коротко замикайте клеми і знайдіть струм, який циркулює між ними. Це я N .
-Намалюйте еквівалентну ланцюг Нортона відповідно до того, що зазначено на малюнку 1. І джерело струму, і еквівалентний опір паралельно.
Теорему Тевеніна можна також застосувати для знаходження R Th, для якого ми вже знаємо, що дорівнює R N , тоді за законом Ома ми можемо знайти I N і перейти до складання отриманої схеми.
А тепер давайте подивимось приклад:
Знайдіть еквівалент Нортона між точками A і B наступного контуру:
Малюнок 3. Приклад схеми. Джерело: Ф. Сапата.
Частина схеми, еквівалент якої потрібно знайти, вже є ізольованою. І точки A і B чітко визначені. Далі йде коротке замикання на джерело 10 В і пошук еквівалентного опору отриманого контуру:
Малюнок 4. Джерело короткого замикання. Джерело: Ф. Сапата.
Якщо розглядати з клем A і B, обидва резистори R 1 і R 2 знаходяться паралельно, отже:
1 / R eq = 1 / R 12 = (1/4) + (1/6) Ω -1 = 5/12 Ω -1 → R eq = 12/5 Ω = 2,4 Ω
Тоді джерело повертається на місце і в точках А і В замкнуті знайти струм , що протікає там, це буде I N . В такому разі:
Рисунок 5. Схема для обчислення струму Нортона. Джерело: Ф. Сапата.
I N = 10 В / 4 Ом = 2,5 А
Нортонський еквівалент
Нарешті, еквівалент Нортона складається з знайденими значеннями:
Малюнок 6. Нортонський еквівалент схеми на рисунку 3. Джерело: Ф. Сапата.
Вправа вирішена
У схемі наступного малюнка:
Малюнок 7. Схема для розв’язаної вправи. Джерело: Олександр, C. 2006. Основи електричних ланцюгів. 3-й. Видання. Mc Graw Hill.
а) Знайдіть еквівалентну нортонівську схему зовнішньої мережі до синього резистора.
b) Знайдіть також еквівалент Тевеніна.
Рішення для
Дотримуючись зазначених вище кроків, джерело повинно бути короткозамкненим:
Малюнок 8. Джерело короткого замикання в ланцюзі фігури 7. Джерело: Ф. Сапата.
Розрахунок RN
Якщо розглядати з клем A і B, резистор R 3 послідовно з паралеллю, утвореною резисторами R 1 і R 2 , давайте спочатку обчислимо еквівалентний опір цієї паралелі:
І тоді ця паралель послідовно з R 3, тому еквівалентний опір:
Це значення як R N, так і R Th , як було пояснено раніше.
В розрахунку
Потім клеми A і B короткозамкнені, повертаючи джерело на своє місце:
Малюнок 9. Схеми для пошуку струму Нортона. Джерело: Ф. Сапата.
Струм через I 3 - це струм , який шукається I N , який можна визначити за допомогою сітчастого методу або з використанням серії та паралелі. У цьому ланцюзі R 2 і R 3 знаходяться паралельно:
Резистор R 1 знаходиться в серії з цією паралеллю, то:
Струм, що виходить з джерела (синій колір), обчислюється за законом Ома:
Цей струм ділиться на дві частини: та, яка проходить через R 2, і другу, яка проходить через R 3 . Однак струм, який проходить через паралельний R 23 , такий самий, який проходить через R 1 , як це можна побачити в проміжній схемі на малюнку. Напруга там:
Обидва резистори R 2 і R 3 знаходяться при цій напрузі, оскільки вони паралельні, тому:
У нас вже є струм Нортона, оскільки, як було сказано раніше, I 3 = I N , то:
Нортонський еквівалент
Все готове провести еквівалент Нортона цієї схеми між точками А і В:
Малюнок 10. Нортонський еквівалент схеми на рисунку 7. Джерело: Ф. Сапата.
Рішення b
Знайти еквівалент Тевеніна дуже просто, оскільки R Th = R N = 6 Ω і, як пояснено в попередніх розділах:
В Th = I Н . R N = 1 А. 6 Ом = 6 В
Еквівалентна схема Тевена:
Малюнок 11. Технічний еквівалент схеми на рисунку 7. Джерело: Ф. Сапата.
Список літератури
- Олександр, C. 2006. Основи електричних схем. 3-й. Видання. Mc Graw Hill.
- Бойлестад, Р. 2011. Вступ до аналізу мікросхем. 2-й. Видання. Пірсон.
- Dorf, R. 2006. Вступ до електричних ланцюгів. 7-й. Видання. Джон Вілі та сини.
- Edminister, J. 1996. Електричні схеми. Серія Шаум. 3-й. Видання. Mc Graw Hill.
- Вікіпедія. Теорема Нортона. Відновлено з: es.wikipedia.org.