ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА: ПОЯСНЕННЯ, ДОДАТКИ, ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Штайнер «и теорема , також відома як теорема паралельної осі, щоб оцінити момент інерції протяжного тіла, навколо осі, паралельної інший , що проходить через центр мас об'єкта.

Це було відкрито швейцарським математиком Якобом Штейнером (1796–1863) і констатується наступне: нехай I _{СМ є} моментом інерції об'єкта відносно осі, що проходить через його центр маси CM, і я _z моменту інерції відносно іншої осі паралельно цьому.

Малюнок 1. Прямокутна дверцята, що обертається на її петлях, має інерційний момент, який можна обчислити, застосовуючи теорему Штейнера. Джерело: Pixabay.

Знаючи відстань D, яка розділяє обидві осі та масу M відповідного тіла, моментом інерції відносно невідомої осі є:

Момент інерції вказує на те, як легко об’єкт обертатися навколо певної осі. Це залежить не тільки від маси тіла, але і від того, як воно розподіляється. З цієї причини він також відомий як інерція обертання, будучи його одиницями в міжнародній системі Kg. м ² .

Теорема показує, що момент інерції I _z завжди більший, ніж момент інерції I _CM на величину, задану MD ² .

Програми

Оскільки об’єкт здатний обертатися навколо численних осей, а в таблицях зазвичай задається лише момент інерції щодо осі, що проходить через центроїд, теорема Штейнера полегшує обчислення, коли необхідно обертати тіла навколо осей які не відповідають цьому.

Наприклад, двері, як правило, обертаються не навколо осі через центр її маси, а навколо бічної осі, де шарніри перуть.

Знаючи момент інерції, можна обчислити кінетичну енергію, пов'язану з обертанням навколо зазначеної осі. Якщо K - кінетична енергія, я момент інерції навколо осі, про яку йдеться, і ω кутова швидкість, випливає, що:

Це рівняння дуже схоже на дуже звичну формулу кінетичної енергії для об'єкта масою M, що рухається зі швидкістю v: K = ½ Mv ² . І справа в тому, що момент інерції або обертальна інерція I відіграє таку саму роль у обертанні, як і маса М у перекладі.

Доведення теореми Штейнера

Момент інерції розширеного об'єкта визначається як:

I = ∫ r ² дм

Де dm - нескінченно мала частина маси, а r - відстань між dm і віссю обертання z. На малюнку 2 ця вісь перетинає центр мас СМ, однак вона може бути будь-якою.

Малюнок 2. Об'єкт, розширений в обертанні навколо двох паралельних осей. Джерело: Ф. Сапата.

Навколо іншої осі z 'момент інерції становить:

I _z = ∫ (r ') ² дм

Тепер, відповідно до трикутника, утвореного векторами D , r і r ' (див. Рисунок 2 праворуч), існує векторна сума:

r + r ' = D → r' = D - r

Три вектори лежать на площині об'єкта, яка може бути xy. Походження системи координат (0,0) вибрано в CM для полегшення наступних обчислень.

Таким чином квадратний модуль вектора r ' дорівнює:

Тепер цей розвиток заміщений інтегралом моменту інерції I _z, а також використовується визначення щільності dm = ρ.dV:

Термін M. D ^2, що з'являється в теоремі Штейнера, походить від першого інтеграла, другий - інерційний момент відносно осі, що проходить через СМ.

Зі свого боку, третій та четвертий інтеграли мають значення 0, оскільки за визначенням вони становлять позицію КМ, обрану як джерело системи координат (0,0).

Розв’язані вправи

-Решені вправи 1

Прямокутна дверцята на малюнку 1 має масу 23 кг, шириною 1,30 і висотою 2,10 м. Визначте момент інерції двері щодо осі, що проходить через петлі, вважаючи, що двері тонкі та рівномірні.

Малюнок 3. Схематика для відпрацьованого прикладу 1. Джерело: модифіковано з Pixabay.

Рішення

З таблиці інерційних моментів для прямокутної пластини масою M і розмірами a і b момент моменту інерції відносно осі, що проходить через її центр маси: I _CM = (1/12) M (a ² + б ² ).

Передбачається однорідний хвірт (наближення, оскільки ворота на рисунку, мабуть, не такі). У такому випадку центр маси проходить через його геометричний центр. На малюнку 3 намальована вісь, яка проходить через центр маси, а також паралельна осі, яка проходить через петлі.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 Kg.m ²

Застосовуючи теорему Штейнера для зеленої осі обертання:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 м ² = 21,4 Kg.

-Решені вправи 2

Знайдіть момент інерції однорідного тонкого стрижня, коли він обертається навколо осі, яка проходить через один з його кінців, див. Рисунок. Він більший чи менший за момент інерції, коли він обертається навколо свого центру? Чому?

Малюнок 4. Схема розв’язаного прикладу 2. Джерело: Ф. Сапата.

Рішення

Відповідно до таблиці моментів інерції момент інерції I _CM тонкого стрижня масою M і довжини L дорівнює: I _CM = (1/12) ML ²

І теорема Штейнера говорить, що коли вона обертається навколо осі, яка проходить через один кінець D = L / 2, вона залишається:

Він більший, хоча не просто вдвічі, але в 4 рази більше, оскільки інша половина стержня (не затінена на малюнку) обертається, описуючи більший радіус.

Вплив відстані до осі обертання не лінійний, а квадратичний. Маса, що вдвічі більше відстані від іншої, матиме момент інерції, пропорційний (2D) ² = 4D ² .

Список літератури

1. Bauer, W. 2011. Фізика для інженерії та наук. Том 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Державний університет Джорджії. Обертальний рух. Відновлено з: phys.nthu.edu.tw.
3. Теорема паралельної осі. Відновлено: гіперфізика.фі-астр.гсу.еду.
4. Рекс, А. 2011. Основи фізики. Пірсон. 190-200.
5. Вікіпедія. Теорема про паралельну вісь. Відновлено з: en.wikipedia.org