ТЕОРЕМА ТОРРІЧЕЛЛІ: З ЧОГО СКЛАДАЄТЬСЯ, ФОРМУЛИ ТА ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Теорема Торрічеллі або принцип Торрічеллі стверджує , що швидкість рідини , що виходить з отвору в стінці резервуара або контейнер, ідентична тому , що набуває об'єкт вільно падає з висоти , що дорівнює поверхню без рідини в отвір.

Теорема проілюстрована на наступному малюнку:

Ілюстрація теореми Торрічеллі. Джерело: саморобний.

Зважаючи на теорему Торрічеллі, ми можемо констатувати, що швидкість виходу рідини через отвір, що знаходиться на висоті h нижче вільної поверхні рідини, задається наступною формулою:

Де g - прискорення сили тяжіння, а h - висота від отвору до вільної поверхні рідини.

Евангеліста Торрічеллі був фізиком і математиком, який народився в місті Фаенца, Італія в 1608 році. Торрічеллі приписують винахід ртутного барометра, і, за визнанням, існує одиниця тиску під назвою "тор", еквівалентна одному міліметру ртуті. (мм рт. ст.).

Доведення теореми

У теоремі Торрічеллі та у формулі, що дає швидкість, передбачається, що втрати в'язкості незначні, так само як і при вільному падінні передбачається, що тертя через повітря, що оточує падаючий об'єкт, незначне.

Вищенаведене припущення в більшості випадків є розумним і також передбачає збереження механічної енергії.

Для доведення теореми ми спочатку знайдемо формулу швидкості для об'єкта, який вивільняється з нульовою початковою швидкістю, з тієї ж висоти, що і поверхня рідини в баку.

Принцип збереження енергії застосовуватиметься для отримання швидкості падаючого предмета саме тоді, коли він опустився на висоту h, рівну висоті h від отвору до вільної поверхні.

Оскільки втрат від тертя немає, справедливо застосовувати принцип збереження механічної енергії. Припустимо, що падаючий предмет має масу m, а висота h вимірюється від рівня виходу рідини.

Падаючий об’єкт

Коли об'єкт вивільняється з висоти, що дорівнює вільній поверхні рідини, його енергія є лише гравітаційним потенціалом, оскільки її швидкість дорівнює нулю, і тому її кінетична енергія дорівнює нулю. Потенційна енергія Ep задається:

Ep = mgh

Коли він проходить перед отвором, його висота дорівнює нулю, тоді потенційна енергія дорівнює нулю, тому вона має лише кінетичну енергію Ec, задану:

Ec = ½ mv ²

Оскільки енергія зберігається Ep = Ec від отриманого:

½ mv ² = mgh

Вирішуючи для швидкості v, формула Торрічеллі виходить:

Рідина виходить з отвору

Далі ми знайдемо швидкість виходу рідини через отвір, щоб показати, що вона збігається з тією, що була тільки що обчислена для об'єкта, що вільно падає.

Для цього ми будемо грунтуватися на принципі Бернуллі, який є не що інше, як збереження енергії, що застосовується для рідин.

Принцип Бернуллі сформульований так:

Інтерпретація цієї формули полягає в наступному:

• Перший член представляє кінетичну енергію рідини на одиницю об'єму
• Другий представляє роботу, виконану за тиском на одиницю площі поперечного перерізу
• Третя представляє потенціал гравітаційного потенціалу на одиницю об'єму рідини.

Починаючи з припущення, що це ідеальна рідина в нетурбулентних умовах з відносно низькими швидкостями, то доречно стверджувати, що механічна енергія на одиницю об'єму рідини є постійною у всіх її областях або поперечних перерізах.

У цій формулі V - швидкість рідини, ρ густина рідини, P - тиск і z вертикальне положення.

На малюнку нижче показана формула Торрічеллі, що починається з принципу Бернуллі.

Наносимо формулу Бернуллі на вільну поверхню рідини, що позначається (1), і на вихідний отвір, позначений (2). Нульовий рівень голови вибрано нарівні з вихідним отвором.

Виходячи з того, що переріз у (1) значно більший, ніж у (2), тоді можна припустити, що швидкість спуску рідини в (1) практично незначна.

З цієї причини встановлено V ₁ = 0, тиск, якому піддається рідина в (1), - атмосферний тиск, а висота, виміряна від отвору, - h.

Для секції (2) на виході ми припускаємо, що швидкість на виході дорівнює v, тиск, якому піддається рідина на виході, також є атмосферним тиском, а висота випускного отвору дорівнює нулю.

Підставити значення, відповідні розділам (1) та (2), у формулу Бернуллі та встановити їх рівними. Рівність справедлива тому, що ми припускаємо, що рідина є ідеальною і немає в'язких втрат на тертя. Після спрощення всіх доданків виходить швидкість на виході з отвору.

У вікні вище видно, що отриманий результат такий же, як у вільно падаючого предмета,

Розв’язані вправи

Вправа 1

I ) Мала випускна труба резервуару з водою знаходиться на 3 м нижче поверхні води. Обчисліть швидкість виходу води.

Рішення:

На наступному малюнку показано, як формула Торрічеллі застосовується в цьому випадку.

Вправа 2

II ) Припускаючи, що вихідна труба резервуару з попередньої вправи має діаметр 1 см, обчисліть витрату води.

Рішення:

Витрата потоку - це об'єм рідини, що виходить за одиницю часу, і обчислюється просто шляхом множення площі вихідного отвору на швидкість виходу.

На наступному малюнку показані деталі розрахунку.

Вправа 3

III ) Визначте, наскільки висока вільна поверхня води в ємності, якщо ви знаєте

що в отворі на дні ємності вода виходить зі швидкістю 10 м / с.

Рішення:

Навіть коли отвір знаходиться на дні контейнера, формулу Торрічеллі все-таки можна застосувати.

На наступному малюнку представлена ​​деталізація розрахунків.

Список літератури

1. Вікіпедія. Теорема Торрічеллі.
2. Хьюїт, П. Концептуальна фізична наука. П’яте видання .119.
3. Молодий, Х'ю. 2016. Університетська фізика Сірса-Земанського із сучасною фізикою. 14-е видання Пірсона. 384.