ТРАЄКТОРІЯ ФІЗИКИ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ВИДИ, ПРИКЛАДИ ТА ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Траєкторія у фізиці є кривою , що мобільний описує , як вона проходить через послідовні моменти під час його руху. Оскільки це може сприйняти багато варіантів, так і траєкторії, за якими може слідувати мобільний.

Щоб дістатися з одного місця в інше, людина може пройти різними стежками та різними шляхами: пішки через тротуари вулицями та проспектами, або прибувши на машині чи мотоциклі по шосе. Під час прогулянки по лісу мандрівник може пройти складну стежку, яка включає повороти, піднімаючись уверх або вниз по рівню і навіть кілька разів проходячи ту саму точку.

Малюнок 1. Об'єднуючи кінцеві точки кожного вектора позиції, отримують шлях, за яким йде частинка. Джерело: Алгарабія

Якщо точки, через які рухається мобільний, йдуть по прямій, траєкторія буде прямолінійною. Це найпростіший шлях, оскільки він одномірний. Визначення позиції вимагає єдиної координати.

Але мобільний може йти криволінійною стежкою, маючи можливість бути закритим або відкритим. У цих випадках для відстеження положення потрібні дві-три координати. Це рухи в площині і в просторі відповідно. Це пов'язано з ланками: обмеження матеріальних умов руху. Деякі приклади:

- Орбіти, що описують планети навколо Сонця, - це закриті шляхи у формі еліпса. Хоча в деяких випадках їх можна наблизити до кругових, як у випадку із Землею.

- М'яч, який воротар ногою б'є по воротах, йде параболічною траєкторією.

- Птах у польоті описує криволінійні траєкторії в космосі, тому що крім руху по літаку, вона може за своїм бажанням підніматися вгору або вниз.

Траєкторія фізики може бути виражена математично, коли положення мобільного відомо в будь-який момент часу. Нехай r - вектор положення, який, у свою чергу, має координати x, y і z у найбільш загальному випадку тривимірного руху. Знаючи функцію r (t), траєкторія буде повністю визначена.

Типи

Загалом, траєкторія може бути досить складною кривою, особливо якщо ви хочете виразити її математично. З цієї причини ми почнемо з найпростіших моделей, де мобільні пристрої рухаються по прямій або на площині, яка може бути підлогою або будь-яким іншим підходящим:

Рухи в одному, двох і трьох вимірах

Найбільш вивчені траєкторії:

- прямолінійний , коли рухається по прямій горизонтальній, вертикальній чи похилій лінії. Куля, кинута вертикально вгору, йде за цією стежкою, або предмет, котрий ковзає вниз по нахилу. Вони є одновимірними рухами, достатньо однієї координати, щоб повністю визначити їх положення.

- Параболічна , в якій мобільний описує дугу параболи. Це часто, оскільки будь-який предмет, кинутий косо під дією сили тяжіння (снаряд), слідує цій траєкторії. Щоб визначити положення мобільного телефону, потрібно вказати дві координати: x і y.

- Кругова , виникає, коли рухома частинка слідує за колом. Він також поширений у природі та у щоденній практиці. Багато предметів побуту йдуть круговою доріжкою, наприклад шини, деталі машин та орбіти супутників, щоб навести кілька прикладів.

- Еліптичний , об'єкт рухається слідом за еліпсом. Як було сказано на початку, це шлях, який йдуть планети на орбіті навколо Сонця.

- Гіперболічні , астрономічні об'єкти під дією центральної сили (сили тяжіння) можуть слідувати еліптичними (закритими) або гіперболічними (відкритими) траєкторіями, при цьому вони рідше, ніж перші.

- спіральний , або спіральний рух, як у птаха, що піднімається в тепловому струмі.

- Похитування або маятник , мобільний описує дугу в рухах вперед і назад.

Приклади

Траєкторії, описані в попередньому розділі, дуже корисні для швидкого уявлення про те, як рухається об’єкт. У будь-якому випадку потрібно уточнити, що траєкторія мобільного залежить від місця розташування спостерігача. Це означає, що одну і ту ж подію можна побачити по-різному, залежно від того, де знаходиться кожна людина.

Наприклад, дівчина педалює з постійною швидкістю і кидає м'яч вгору. Вона зауважує, що куля описує прямолінійну стежку.

Однак для спостерігача, який стоїть на дорозі, який бачить, як він проходить, м'яч матиме параболічний рух. Для нього м'яч спочатку кидався з похилою швидкістю, внаслідок швидкості вгору рукою дівчини плюс швидкості велосипеда.

Малюнок 2. Ця анімація показує вертикальний кидок кулі, зроблений дівчиною, що їде на велосипеді, як вона бачить її (прямолінійна траєкторія) і як бачить спостерігач (параболічна траєкторія). (Підготував Ф. Сапата).

Шлях мобільного явним, неявним та параметричним способом

- явне , безпосередньо вказуючи криву або локус, задане рівнянням y (x)

- Імпліцит , в якому крива виражається як f (x, y, z) = 0

- Параметричні , таким чином задаються координати x, y і z як функція параметра, який, як правило, вибирається як час t. У цьому випадку траєкторія складається з функцій: x (t), y (t) і z (t).

Далі докладно описані дві траєкторії, які широко вивчалися в кінематиці: параболічна траєкторія та кругова траєкторія.

Нахилений запуск у порожнечу

Об'єкт (снаряд) кидається під кутом a з горизонталлю і з початковою швидкістю v _o, як показано на рисунку. Опір повітря не враховується. Рух можна трактувати як два незалежні та одночасні рухи: один горизонтальний із постійною швидкістю та інший вертикальний під дією сили тяжіння.

Ці рівняння є параметричними рівняннями пуску снаряду. Як було пояснено вище, вони мають загальний параметр t, який є часом.

У правильному трикутнику на малюнку видно наступне:

Малюнок 3. Параболічна траєкторія з подальшим снарядом, в якій показані компоненти вектора швидкості. Н - максимальна висота, а R - максимальна горизонтальна досяжність. Джерело: Ayush12gupta

Підстановка цих рівнянь, що містять кут запуску, в параметричні рівняння:

Рівняння параболічного шляху

Явне рівняння шляху знаходимо шляхом розв’язування t з рівняння для x (t) і підстановки в рівняння для y (t). Для полегшення алгебраїчної роботи можна припустити, що початок (0,0) знаходиться в точці запуску і, таким чином, x _o = y _o = 0.

Це рівняння шляху в явній формі.

Кругова стежка

Кругову стежку задають:

Малюнок 4. Частка рухається круглою доріжкою на площині. Джерело: модифікував Ф. Сапата з Wikimedia Commons.

Тут x _або yy _o являють собою центр окружності, описаний мобільним, а R - його радіус. P (x, y) - точка на шляху. З затіненого правого трикутника (мал. 3) видно, що:

Параметр у цьому випадку - кут зміщення θ, який називається кутовим зміщенням. У конкретному випадку, коли кутова швидкість ω (кут, що прокочується за одиницю часу) є постійною, можна констатувати, що:

Де θ _o - початкове кутове положення частинки, яке, якщо прийняти за 0, зменшується до:

У такому випадку час повертається до параметричних рівнянь у вигляді:

Одиничні вектори i і j дуже зручні для запису позиційної функції об'єкта r (t). Вони позначають напрямки як на осі х, так і на осі у відповідно. З точки зору положення частинки, яка описує рівномірний круговий рух, є:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Розв’язані вправи

Розв’язана вправа 1

Гармата може стріляти з кулі зі швидкістю 200 м / с і кутом 40 ° щодо горизонталі. Якщо кидок знаходиться на рівній землі, а опір повітря нехтується, знайдіть:

а) Рівняння шляху y (x) ..

б) Параметричні рівняння x (t) і y (t).

в) Горизонтальний дальність і час, коли снаряд триває у повітрі.

г) Висота, на якій снаряд знаходиться, коли х = 12 000 м

Рішення для)

а) Щоб знайти траєкторію, значення, задані в рівнянні y (x) попереднього розділу, підміняються:

Рішення б)

б) Точка запуску вибирається у початку координатної системи (0,0):

Рішення в)

c) Щоб знайти час, коли снаряд триває у повітрі, нехай y (t) = 0, де запуск робиться на рівну землю:

Максимальний горизонтальний обсяг виявляється, замінивши це значення на x (t):

Інший спосіб знайти x _max безпосередньо - встановити y = 0 в рівнянні шляху:

Існує невелика різниця через округлення десятків.

Рішення г)

г) Щоб знайти висоту при х = 12000 м, це значення заміщене безпосередньо в рівнянні шляху:

Вправа розв’язана 2

Функція позиції об'єкта задається:

r (t) = 3t i + (4 -5t ² ) j m

Знайти:

а) Рівняння для шляху. Яка крива?

б) Початкове положення і положення, коли t = 2 с.

в) Зсув, зроблений через t = 2 с.

Рішення

а) Функція позиції була задана в одиничних векторах i і j , які відповідно визначають напрямок в осях x і y, отже:

Рівняння шляху y (x) знаходимо, розв’язуючи t з x (t) і замінюючи y (t):

б) Початкове положення дорівнює: r (2) = 4 j m; положення при t = 2 s дорівнює r (2) = 6 i -16 j m

c) Зсув D r - віднімання двох векторів позиції:

Вправа розв’язана 3

Земля має радіус R = 6300 км і відомо, що період обертання її руху навколо своєї осі становить один день. Знайти:

а) Рівняння траєкторії точки на земній поверхні та її положення положення.

б) Швидкість і прискорення цієї точки.

Рішення для)

а) Функція позиції для будь-якої точки кругової орбіти:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

У нас є радіус Землі R, але не кутова швидкість ω, однак її можна обчислити з періоду, знаючи, що для кругового руху справедливо сказати, що:

Період руху становить: 1 день = 24 години = 1440 хвилин = 86 400 секунд, отже:

Заміна в позиційній функції:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0,000023148t i + sin 0,000023148t j ) км

Шлях у параметричній формі такий:

Рішення б)

б) Для кругового руху величина лінійної швидкості v точки пов'язана з кутовою швидкістю w на:

Навіть будучи рухом з постійною швидкістю 145,8 м / с, відбувається прискорення, яке вказує до центру кругової орбіти, відповідальне за збереження точки обертання. Це доцентрове прискорення при _c , задане:

Список літератури

1. Джанколі, Д. Фізика. (2006). Принципи застосування. 6- ^й зал Прентіс. 22-25.
2. Кіркпатрик, Л. 2007. Фізика: погляд у світ. 6 ^та Редагування скорочено. Cengage Learning. 23 - 27.
3. Реснік, Р. (1999). Фізичні. Том 1. Третє видання іспанською мовою. Мексика. Compañía Редакція Continental SA de CV 21-22.
4. Рекс, А. (2011). Основи фізики. Пірсон. 33 - 36
5. Сірс, Земанський. (2016). Університетська фізика із сучасною фізикою. 14- ^й . Видання том1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Фізика для науки та техніки. Том 1. 7 ^ма . Видання. Мексика. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Сервей, Р., Вулле, C. (2011). Основи фізики. 9 ^на ред. Навчання за участю у реєстрі. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Фізика 10. Пірсонова освіта. 133-149.