ТРИКУТНИКИ: ІСТОРІЯ, ЕЛЕМЕНТИ, КЛАСИФІКАЦІЯ, ВЛАСТИВОСТІ - НАУКА - 2025

Ці трикутники є плоскими і закриті геометричні фігури, що складаються з трьох сторін. Трикутник визначається трьома прямими, які перетинаються дві на дві, утворюючи між собою три кути. Трикутна форма, сповнена символізму, присутня в незліченних об'єктах і як елемент побудови.

Походження трикутника втрачається в історії. З археологічних свідчень відомо, що первісне людство це добре знало, оскільки археологічні рештки підтверджують, що його використовували в знаряддях та зброї.

Малюнок 1. Трикутники. Джерело: Publicdomaininictures.

Очевидно також, що стародавні єгиптяни володіли ґрунтовними знаннями з геометрії та, зокрема, трикутної форми. Вони знайшли відображення в архітектурних елементах його монументальних споруд.

У папірусі Rhind ви знайдете формули для обчислення площ трикутників і трапецій, а також деякі обсяги та інші поняття рудиментарної тригонометрії.

Зі свого боку відомо, що вавілоняни змогли обчислити площу трикутника та інші геометричні фігури, які вони використовували для практичних цілей, таких як поділки суші. Вони також знали про багато властивостей трикутників.

Однак саме давні греки систематизували багато поширених сьогодні геометричних понять, хоча значна частина цих знань не була винятковою, оскільки вона, безумовно, поділялася з цими іншими давніми цивілізаціями.

Елементи трикутника

Елементи будь-якого трикутника вказані на наступному малюнку. Існує три: вершини, сторони та кути.

Малюнок 2. Позначення трикутників та їх елементів. Джерело: Wikimedia Commons, модифікований Ф. Сапатою

-Вертежі : це точки перетину прямих, відрізки яких визначають трикутник. На малюнку вище, наприклад, лінія L _AC, яка містить відрізок AC, перетинає лінію L _AB, яка містить відрізок AB точно в точці A.

- Сторони : між кожною парою вершин промальовується відрізок лінії, що становить одну сторону трикутника. Цей сегмент може бути позначений кінцевими літерами або за допомогою певної літери для його виклику. У прикладі фігури 2 сторона AB також називається "с".

- Кути : між кожною стороною зі спільною вершиною виникає кут, вершина якого збігається з вершиною трикутника. Зазвичай кут позначається грецькою літерою, як зазначено на початку.

Для побудови певного трикутника із заданою формою та розміром достатньо мати один із таких наборів даних:

-Три сторони, досить очевидні у випадку трикутника.

-Дві сторони і кут між ними, і відразу ж намальована решта сторона.

-Дві (внутрішні) кути та сторона між ними. Подовжуючи дві пропущені сторони, малюємо, і трикутник готовий.

Позначення

Як правило, у позначенні трикутників використовуються такі умовні позначення: вершини позначаються малими літерами, сторони - малими літерами, а кути - грецькими літерами (див. Рисунок 2).

Таким чином трикутник називається відповідно до його вершин. Наприклад, трикутник зліва на малюнку 2 - це трикутник ABC, а праворуч - трикутник A'B'C '.

Можливо також використання інших позначень; наприклад, кут α на малюнку 2 позначається як BAC. Зауважте, що буква вершини йде посередині, а літери пишуться в напрямку проти годинникової стрілки.

В іншому випадку каре використовується для позначення кута:

α = ∠A

Види трикутників

Існує кілька критеріїв класифікації трикутників. Найбільш звичне класифікувати їх за мірою їх сторін або за мірою їх кутів. Залежно від міри їх сторін трикутники можуть бути: шкали, рівнобедрені або рівносторонні:

-Скалено : три його сторони різні.

-Isósceles : у нього дві рівні сторони і одна різна сторона.

-Equilátero : три сторони рівні.

Малюнок 3. Класифікація трикутників за їх сторонами. Джерело: Ф. Сапата

Відповідно до міри їх кутів трикутники називаються так:

- перешкода , якщо один із внутрішніх кутів перевищує 90º.

- Гострий кут , коли три внутрішніх кута трикутника гострі, тобто менше 90º

- Прямокутник , якщо один з його внутрішніх кутів дорівнює 90º. Сторони, що утворюють 90º, називаються ногами, а сторона, навпроти прямого кута, - гіпотенузою.

Малюнок 4. Класифікація трикутників за їх внутрішніми кутами. Джерело: Ф. Сапата.

Конгруентність трикутників

Коли два трикутники мають однакову форму і однакового розміру, вони вважаються конгруентними. Звичайно, конгруентність пов'язана з рівністю, так чому геометрія говорить про "два конгруентних трикутника" замість "двох рівних трикутників"?

Що ж, краще використовувати термін "конгруентність", щоб дотримуватися істини, оскільки два трикутники можуть мати однакову форму та розмір, але орієнтуватися по-різному в площині (див. Рисунок 3). З точки зору геометрії, вони більше не були б абсолютно однаковими.

Малюнок 5. Конгруентні трикутники, але необов'язково рівні, оскільки їх орієнтація в площині різна. Джерело: Ф. Сапата.

Критерії конгруентності

Два трикутники є конгруентними, якщо трапляється щось із наступного:

-Три сторони вимірюють те саме (знову це є найбільш очевидним).

-У них дві однакові сторони і з однаковим кутом між ними.

-Біть два однакових внутрішніх кута, і сторона між цими кутами вимірює однакові.

Як видно, йдеться про два трикутники, що відповідають необхідним умовам, так що при їх побудові їх форма та розміри точно однакові.

Критерії відповідності дуже корисні, оскільки на практиці незліченні шматки та механічні деталі повинні виготовлятися послідовно таким чином, щоб їх розміри та форма були абсолютно однаковими.

Схожість трикутників

Трикутник схожий на інший, якщо вони мають однакову форму, навіть якщо вони різної величини. Щоб форма була однаковою, потрібно, щоб внутрішні кути мали однакове значення, а сторони були пропорційними.

Малюнок 6. Два подібних трикутника: їх розміри відрізняються, але їх пропорції однакові. Джерело: Ф. Сапата.

Трикутники на малюнку 2 також схожі, як і на малюнку 6. Таким чином:

Що стосується сторін, то є такі співвідношення подібності:

Властивості

Основні властивості трикутників такі:

-Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника завжди становить 180º.

-Для будь-якого трикутника сума його зовнішніх кутів дорівнює 360 °.

- Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не сусідніх із зазначеним кутом.

Теореми

Перша теорема Фалеса

Їх приписують грецькому філософу і математику Фалесу Мілетського, який розробив кілька теорем, пов'язаних з геометрією. Перша з них констатує наступне:

Малюнок 7. Теорема Фалеса. Джерело: Ф. Сапата.

Іншими словами:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Перша теорема Фалеса застосовна до трикутника, наприклад, у нас є синій трикутник ABC зліва, який перерізаний червоними паралелями праворуч:

Малюнок 8. Теорема Фалеса та подібні трикутники.

Фіолетовий трикутник AB'C 'схожий на синій трикутник ABC, тому, згідно теореми Фалеса, можна записати наступне:

AB´ / AC´ = AB / AC

І це відповідно до того, що було пояснено раніше в сегменті подібності трикутників. До речі, паралельні прямі також можуть бути вертикальними або паралельними гіпотенузі і подібні трикутники виходять однаковим чином.

Друга теорема Фалеса

Ця теорема також відноситься до трикутника та кола з центром O, наприклад, наведених нижче. На цьому малюнку AC - діаметр окружності, а B - точка на ньому, B відрізняється від A і B.

Друга теорема Талеса говорить, що:

Малюнок 9. Друга теорема Фалеса. Джерело: Wikimedia Commons. Індуктивне навантаження.

Теорема Піфагора

Це одна з найвідоміших теорем в історії. Це обумовлено грецьким математиком Піфагором Самоським (569 - 475 рр. До н. Е.) І застосовно до правильного трикутника. Каже так:

Якщо взяти за приклад синій трикутник на рисунку 8 або фіолетовий трикутник, оскільки обидва є прямокутниками, то можна констатувати, що:

AC ² = AB ² + BC ² (синій трикутник)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (фіолетовий трикутник)

Площа трикутника

Площа трикутника задається добутком його основи a і його висотою h, поділеною на 2. А за допомогою тригонометрії цю висоту можна записати як h = b sinθ.

Малюнок 10. Площа трикутника. Джерело: Wikimedia Commons.

Приклади трикутників

Приклад 1

Кажуть, що за допомогою своєї першої теореми Фалесу вдалося виміряти висоту Великої піраміди в Єгипті, одного з 7 чудес стародавнього світу, вимірюючи тінь, яку вона проектувала на землю, і що проектується за допомогою колу, забитого в землю.

Ось контур процедури, яку дотримуються Казки:

Рисунок 11. Схема вимірювання висоти Великої піраміди за подібністю трикутників. Джерело: Wikimedia Commons. Дайк

Фалес правильно припустив, що сонячні промені вражають паралельно. Маючи це на увазі, він уявляв великий правий трикутник справа.

Там D - висота піраміди, а C - відстань над землею, виміряна від центру до тіні, відкинутої пірамідою на підлогу пустелі. Вимірювання C може бути трудомістким, але це, звичайно, простіше, ніж вимірювати висоту піраміди.

Зліва - невеликий трикутник з ніжками A і B, де A - висота колу, забитого вертикально в землю, а B - тінь, яку він кидає. Обидві довжини вимірюються, як і C (C дорівнює довжині тіні + половині довжини піраміди).

Отже, за подібністю трикутників:

A / B = D / C

А висота Великої піраміди виявляється такою: D = C. (A / B)

Приклад 2

Крокви в цивільному будівництві - це споруди, виготовлені з тонких прямих брусків з дерева або металу, що перехрещені, які використовуються в якості опори у багатьох будівлях. Вони також відомі як ферми, ферми або ферми.

У них трикутники завжди присутні, оскільки бруски з'єднані між собою в точках, званих вузлами, які можуть бути фіксованими або зчленованими.

Малюнок 12. Трикутник присутній у рамі цього моста. Джерело: PxHere.

Приклад 3

Метод, відомий як тріангуляція, дозволяє отримати місце недоступних точок, знаючи інші відстані, які легше виміряти, за умови формування трикутника, який включає бажане місце між його вершинами.

Наприклад, на наступному малюнку ми хочемо знати, де знаходиться море в морі, позначене як B.

Рисунок 13. Схема триангуляції для розміщення корабля. Джерело: Wikimedia Commons. Colette

По-перше, вимірюється відстань між двома точками на узбережжі, які на малюнку - A і C. Далі, кути α і β потрібно визначити за допомогою теодоліту, пристрою, що використовується для вимірювання вертикальних і горизонтальних кутів.

З усієї цієї інформації будується трикутник, у верхній вершині якого знаходиться корабель. Залишилося б обчислити кут γ, використовуючи властивості трикутників і відстані AB і CB за допомогою тригонометрії, щоб визначити положення корабля в морі.

Вправи

Вправа 1

На зображеній рисунку сонячні промені паралельні. Таким чином 5-метрове високе дерево кидає 6-метрову тінь на землю. У той же час тінь будівлі становить 40 метрів. Дотримуючись першої теореми Фалеса, знайдіть висоту будівлі.

Малюнок 14. Схема розв’язаної вправи 1. Джерело: Ф. Сапата.

Рішення

Червоний трикутник має сторони відповідно 5 і 6 метрів, а синій - висоту Н - висоту будівлі - та основу 40 метрів. Отже, обидва трикутника схожі:

Вправа 2

Потрібно знати горизонтальну відстань між двома точками А і В, але вони розташовані на дуже нерівній землі.

Приблизно в середній точці (Р _м ) зазначеної місцевості виділяється видатність висотою 1,75 метра. Якщо рулеткою вказується довжина 26 метрів, виміряна від А до місця, і 27 метрів від В до тієї ж точки, знайдіть відстань АВ.

Малюнок 15. Схема розв’язаної вправи 2. Джерело: Хіменес, Р. Математика II. Геометрія та тригонометрія.

Рішення

Теорема Піфагора застосовується до одного з двох правильних трикутників на рисунку. Починаючи з ліворуч:

Гіпотенуза = c = 26 метрів

Висота = a = 1,75 метра

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 м

Тепер застосуйте Піфагора до трикутника праворуч, на цей раз c = 27 метрів, a = 1,75 метра. За допомогою цих значень:

ВР _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 м

Відстань АВ знаходить додавання цих результатів:

AB = 25,94 м + 26,94 м = 52,88 м.

Список літератури

1. Бальдор, JA 1973. Геометрія площини та космосу. Центральноамериканська культурна.
2. Барредо, Д. Геометрія трикутника. Відновлено з: ficus.pntic.mec.es.
3. Хіменес, Р. 2010. Математика II. Геометрія та тригонометрія. Друге видання. Пірсон.
4. Вентворт, Г. Плоска геометрія. Відновлено з: gutenberg.org.
5. Вікіпедія. Трикутник. Відновлено: es. wikipedia.org.