БЕЗПЕРЕРВНА ЗМІННА: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИКЛАДИ ТА ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Безперервні змінний є той , який може приймати нескінченне число числових значень між двома заданими значеннями, навіть якщо ці два значення як завгодно близько. Вони використовуються для опису вимірюваних ознак; наприклад, зріст і вага. Значення, які приймає неперервна змінна, можуть бути раціональними числами, реальними числами або складними числами, хоча останній випадок є менш частим у статистиці.

Основна характеристика безперервних змінних полягає в тому, що між двома раціональними або реальними величинами завжди можна знайти інше, а між цим іншим та першим іншим іншим значенням і так далі безстроково.

Рисунок 1. Крива являє собою безперервний розподіл, а смуги дискретні. Джерело: pixabay

Наприклад, припустимо змінну вагу в групі, де найважчий важить 95 кг, а найнижчий - 48 кг; це був би діапазон змінної, а кількість можливих значень нескінченна.

Наприклад, між 50,00 кг і 50,10 кг може бути 50,01. Але між 50.00 і 50.01 може бути мірою 50.005. Це суцільна змінна. З іншого боку, якби в можливих вимірюваннях ваги була встановлена ​​точність одиничної десяткової величини, застосовувана змінна була б дискретною.

Безперервні змінні належать до категорії кількісних змінних, оскільки мають числове значення, пов'язане з ними. За допомогою цього числового значення можна проводити математичні операції, починаючи від арифметичних до нескінченно малих методів обчислення.

Приклади

Більшість змінних у фізиці - це постійні змінні, серед них можна назвати: довжину, час, швидкість, прискорення, енергію, температуру та ін.

Безперервні змінні та дискретні змінні

У статистиці можна визначити різні типи змінних, як якісні, так і кількісні. Безперервні змінні належать до останньої категорії. З ними можна проводити арифметичні та обчислювальні операції.

Наприклад, змінна h, що відповідає людям з висотою від 1,50 м до 1,95 м, є суцільною змінною.

Порівняємо цю змінну з цією: кількість разів, коли кидається монета, піднімає голови, яку ми будемо називати n.

Змінна n може приймати значення між 0 і нескінченністю, однак n не є суцільною змінною, оскільки вона не може приймати значення 1,3 або 1,5, оскільки між значеннями 1 і 2 немає іншого. Це приклад дискретної змінної.

Вправа на постійні змінні

Розглянемо наступний приклад: машина виготовляє сірники і запакує їх у свій ящик. Визначено дві статистичні змінні:

Номінальна довжина сірника 5,0 см з допуском 0,1 см. Кількість сірників у коробці - 50 з допуском 3.

а) Укажіть діапазон значень, який можуть приймати L і N.

б) Скільки значень може приймати L?

в) Скільки значень можна взяти n?

У кожному випадку вкажіть, чи це дискретна чи неперервна змінна.

Рішення

Значення L знаходяться в діапазоні; тобто значення L знаходиться в інтервалі, і змінна L може приймати нескінченні значення між цими двома вимірюваннями. Тоді це суцільна змінна.

Значення змінної n знаходиться в інтервалі. Змінна n може приймати лише 6 можливих значень в інтервалі допуску, вона є дискретною змінною.

Вправа

Якщо, крім того, що неперервні, значення, прийняті змінною, мають певну ймовірність виникнення, пов'язану з ними, то це неперервна випадкова величина. Дуже важливо розрізнити, чи є змінна дискретною чи безперервною, оскільки ймовірнісні моделі, застосовні до однієї та іншої, різні.

Безперервна випадкова величина повністю визначається, коли відомі значення, які вона може припустити, та ймовірність того, що кожна з них має місце бути відомими.

-Вправа 1 ймовірностей

Сірник виготовляє їх таким чином, що довжина палиць завжди знаходиться між значеннями 4,9 см та 5,1 см, а нуль поза цими значеннями. Існує ймовірність отримати палицю, яка розміром від 5,00 до 5,05 см, хоча ми також могли витягти одну з 50003 см. Чи однакові ці значення?

Рішення

Припустимо, щільність ймовірності рівномірна. Нижче наведені ймовірності знайти відповідність з певною довжиною:

-Що збіга в діапазоні має ймовірність = 1 (або 100%), оскільки машина не виводить збіги за межами цих значень.

-Значення відповідності між 4,9 і 5,0 має ймовірність = ½ = 0,5 (50%), оскільки це половина діапазону довжин.

-І ймовірність того, що відповідність має довжину між 5,0 і 5,1, також становить 0,5 (50%)

-Видомо, що немає сірників, що мають довжину від 5,0 до 5,2. Ймовірність: нуль (0%).

Ймовірність знайти зубочистку в певному діапазоні

Тепер спостерігатимемо наступні ймовірності P отримання паличок, довжина яких між l ₁ та l ₂ :

-П, що сірник має довжину між 5,00 та 5,05, позначається як P ():

-П, що пагорб має довжину від 5,00 до 5,01:

-При тому, що пагорб має довжину від 5000 до 5 000, ще менше:

Якщо ми продовжуємо зменшувати інтервал для наближення та наближення до 5.00, ймовірність того, що зубочистка рівно 5,00 см, дорівнює нулю (0%). У нас є ймовірність знайти відповідність у певному діапазоні.

Ймовірність знайти кілька зубочисток у заданому діапазоні

Якщо події незалежні, ймовірність того, що дві зубочистки знаходяться у певному діапазоні, є результатом їх ймовірності.

-Імовірність того, що два палички для їжі між 5,0 і 5,1 становить 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Імовірність того, що 50 зубочисток буде від 5,0 до 5,1, становить (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, тобто майже дорівнює нулю.

-Імовірність того, що 50 зубочисток від 4,9 до 5,1, є (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Вправа 2 ймовірностей

У попередньому прикладі було зроблено припущення, що ймовірність рівномірна в даному інтервалі, проте це не завжди так.

Що стосується фактичної машини, яка виробляє зубочистки, то ймовірність того, що зубочистка знаходиться в центральному значенні, більша, ніж на одному з крайніх значень. З математичної точки зору це моделюється функцією f (x), відомою як щільність ймовірності.

Ймовірність того, що міра L знаходиться між a і b, обчислюється, використовуючи певний інтеграл функції f (x) між a і b.

Як приклад, припустимо, що ми хочемо знайти функцію f (x), яка представляє рівномірний розподіл між значеннями 4.9 та 5.1 з вправи 1.

Якщо розподіл ймовірностей є рівномірним, то f (x) дорівнює постійній c, що визначається, беручи інтеграл між 4,9 і 5,1 c. Оскільки цей інтеграл є ймовірністю, то результат повинен бути 1.

Малюнок 2. Уніфікована щільність ймовірності. (Власна розробка)

Що означає, що c коштує 1 / 0,2 = 5. Тобто функція рівномірної щільності ймовірності дорівнює f (x) = {5, якщо 4.9≤x≤5.1 і 0 поза цим діапазоном. Рівномірна функція щільності ймовірності показана на малюнку 2.

Зверніть увагу, наскільки в інтервалах однакової ширини (наприклад, 0,02) ймовірність однакова в центрі, як і в кінці діапазону безперервної змінної L (довжина зубочистки).

Більш реалістичною моделлю була б функція густини ймовірностей на зразок наступної:

Малюнок 3. Неоднакова функція щільності ймовірності. (Власна розробка)

На малюнку 3 видно, наскільки вірогідність знайти зубочистки між 4,99 і 5,01 (ширина 0,02) більша, ніж пошук зубочисток між 4,90 і 4,92 (ширина 0,02)

Список літератури

1. Дінов, Іво. Дискретні випадкові величини та розподіли ймовірностей. Отримано з: stat.ucla.edu
2. Дискретні та безперервні випадкові змінні. Отримано з: ocw.mit.edu
3. Дискретні випадкові величини та розподіли ймовірностей. Отримано з: homepage.divms.uiowa.edu
4. Х. Пішро. Вступ до ймовірності. Відновлено: ймовірність курсу.com
5. Mendenhall, W. 1978. Статистика для управління та економіки. Grupo Редакція Iberoamericana. 103-106.
6. Випадкові проблеми змінних і ймовірнісні моделі. Відновлено: ugr.es.
7. Вікіпедія. Суцільна змінна. Відновлено з wikipedia.com
8. Вікіпедія. Змінна статистика. Відновлено з wikipedia.com.