ДИРЕКТОРСЬКИЙ ВЕКТОР: РІВНЯННЯ ЛІНІЇ, РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Режисерським вектором вважається той, який визначає напрямок лінії, або в площині, або в просторі. Тому вектор, паралельний прямій, можна розглядати як направляючий його вектор.

Це можливо завдяки аксіомі евклідової геометрії, яка говорить про те, що дві точки визначають пряму. Тоді орієнтований відрізок, утворений цими двома точками, також визначає вектор директора вказаної лінії.

Рисунок 1. Директорський вектор лінії. (Власна розробка)

З огляду на точку P, що належить прямій (L), та заданий вектор директора u цієї прямої, лінія визначається повністю.

Рівняння прямолінійного та режисерського вектора

Малюнок 2. Рівняння прямолінійного та директорного вектора. (Власна розробка)

За умови точки P координат P: (Xo, I) та вектора u директора прямої (L), кожна точка Q координат Q: (X, Y) повинна задовольняти, що вектор PQ паралельний u. Ця остання умова гарантована, якщо PQ пропорційний u :

PQ = t⋅ u

у наведеному виразі t - параметр, який належить до дійсних чисел.

Якщо записані декартові компоненти PQ і u , наведене вище рівняння записується так:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Якщо компоненти векторної рівності вирівняти, виходить така пара рівнянь:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Параметричне рівняння прямої

Координати X і Y точки, що належить лінії (L), яка проходить через координатну точку (Xo, Yo) і паралельна вектору директора u = (a, b), визначаються шляхом присвоєння дійсних значень змінному параметру t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Приклад 1

Щоб проілюструвати значення параметричного рівняння прямої, візьмемо як напрямний вектор

u = (a, b) = (2, -1)

і як відому точку прямої точки

P = (Xo, I) = (1, 5).

Параметричне рівняння рядка:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Для ілюстрації значення цього рівняння показано рисунок 3, де параметр t змінює значення і точка Q координат (X, Y) займає різні положення на прямій.

Малюнок 3. PQ = t u. (Власна розробка)

Рядок у векторній формі

Задавши точку Р на прямій та її директорний вектор u, рівняння прямої можна записати у векторній формі:

OQ = OP + λ⋅ u

У наведеному рівнянні Q - будь-яка точка, але належить до прямої, а λ - дійсне число.

Векторне рівняння лінії застосовується до будь-якої кількості вимірів, навіть гіперлінія може бути визначена.

У тривимірному випадку для директорного вектора u = (a, b, c) і точки P = (Xo, Yo, Zo) координати родової точки Q = (X, Y, Z), що належить прямій, є :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Приклад 2

Розглянемо ще раз лінію, яка має в якості направляючого вектора

u = (a, b) = (2, -1)

і як відому точку прямої точки

P = (Xo, I) = (1, 5).

Векторне рівняння зазначеної лінії є:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Неперервна форма лінії та режисерський вектор

Починаючи з параметричної форми, очищаючи і прирівнюючи параметр λ, ми маємо:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Це симетрична форма рівняння прямої. Зауважимо, що a, b і c є компонентами директорного вектора.

Приклад 3

Розглянемо лінію, яка має як напрямний вектор

u = (a, b) = (2, -1)

і як відому точку прямої точки

P = (Xo, I) = (1, 5). Знайдіть його симетричну форму.

Симетрична або неперервна форма лінії є:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Загальна форма рівняння прямої

Загальна форма лінії в площині XY відома як рівняння, яке має таку структуру:

A⋅X + B⋅Y = C

Вираз для симетричної форми можна переписати, щоб мати загальну форму:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

порівнюючи із загальною формою лінії це:

A = b, B = -a і C = b⋅Xo - a⋅Yo

Приклад 3

Знайдіть загальну форму лінії, директором якої є u = (2, -1)

і це проходить через точку P = (1, 5).

Щоб знайти загальну форму, ми можемо скористатися даними формулами, однак буде обраний альтернативний шлях.

Почнемо з знаходження подвійного вектора w директора вектора u, визначеного як вектор, отриманий обміном компонентів u та множенням другого на -1:

w = (-1, -2)

подвійний вектор w відповідає обертанню на 90 ° за годинниковою стрілкою директора вектора v .

Скалярно множимо w на (X, Y) і на (Xo, Yo) і встановлюємо рівне:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

остаточно остаточно:

X + 2Y = 11

Стандартна форма рівняння прямої

Він відомий як стандартна форма лінії в площині XY, яка має таку структуру:

Y = m⋅X + d

де m являє собою нахил, а d перехоплення з віссю Y.

Враховуючи вектор напрямку u = (a, b), нахил m дорівнює b / a.

Y d отримують заміною X і Y на відому точку Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Коротше кажучи, m = b / a і d = I - (b / a) Xo

Зауважимо, що нахил m є коефіцієнтом між y компонентою директора вектора і x його складовою.

Приклад 4

Знайдіть стандартну форму лінії, директором якого є u = (2, -1)

і це проходить через точку P = (1, 5).

m = -½ і d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Розв’язані вправи

-Вправа 1

Знайдіть вектор директора прямої (L), що є перетином площини (Π): X - Y + Z = 3 та площини (Ω): 2X + Y = 1.

Потім запишіть безперервну форму рівняння прямої (L).

Рішення

З рівняння площини (Ω) зазору Y: Y = 1 -2X

Тоді підставляємо в рівняння площини (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Потім параметризуємо X, вибираємо параметризацію X = λ

Це означає, що у рядку є векторне рівняння, задане:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

який можна переписати як:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

з якого зрозуміло, що вектор u = (1, -2, -3) є направляючим вектором прямої (L).

Неперервною формою лінії (L) є:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Вправа 2

Дано площину 5X + a Y + 4Z = 5

і пряма, рівняння якої X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Визначте значення такого, що площина та пряма паралельні.

Рішення 2

Вектор n = (5, a, 4) - вектор, нормальний для площини.

Вектор u = (1, 3, -2) - напрямний вектор прямої.

Якщо пряма паралельна площині, то n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Список літератури

1. Флемінг, W., & Varberg, DE (1989). Математика дорахунку. Prentice Hall PTR.
2. Колман, Б. (2006). Лінійна алгебра. Пірсон освіта.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Плоска аналітична геометрія. Меріда - Венесуела: Редакція Венезолана Каліфорнія
4. Наварро, Росіо. Вектори. Відновлено з: books.google.co.ve.
5. Перес, CD (2006). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.
6. Prenowitz, W. 2012. Основні поняття геометрії. Rowman & Littlefield
7. Салліван, М. (1997). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.