РЕЗУЛЬТАТНИЙ ВЕКТОР: РОЗРАХУНОК, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Результуючий вектор являє собою один , отриманий в результаті операції з векторами, результат також є вектор. Зазвичай ця операція - це сума двох або більше векторів, за допомогою яких виходить вектор, ефект якого еквівалентний.

Таким чином отримують такі вектори, як отримана швидкість, прискорення або сила. Наприклад, коли на тіло діє кілька сил F ₁ , F ₂ , F ₃ , … векторна сума всіх цих сил дорівнює чистій силі (результуючої), яка математично виражається так:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R або F _N

Малюнок 1. Вага снігу розподіляється на дах і його дію можна замінити єдиною результуючою силою, прикладеною у відповідному місці. Джерело: Pixabay.

Отриманий вектор, будь то сила чи будь-яка інша величина, визначається за допомогою правил додавання вектора. Оскільки вектори мають напрямок і сенс, а також числове значення, недостатньо додати модулі, щоб мати отриманий вектор.

Це справедливо лише в тому випадку, коли вектори, що беруть участь, перебувають в одному напрямку (див. Приклади). В іншому випадку необхідно використовувати методи векторної суми, які залежно від випадку можуть бути геометричними або аналітичними.

Приклади

Геометричні методи знаходження отриманого вектора - це метод траверси та паралелограм.

Щодо аналітичних методів, то існує компонентний метод, за допомогою якого можна знайти вектор, що утворюється з будь-якої системи векторів, за умови, що у нас є декартові компоненти.

Геометричні методи додати два вектори

Припустимо, вектори u і v (позначимо їх жирним шрифтом, щоб відрізнити їх від скалярів). На малюнку 2а) ми розмістили їх на площині. На малюнку 2 б) він переведений у вектор v таким чином, що його походження збігається з кінцем u . Отриманий вектор йде від початку першого ( u ) до кінця останнього ( v ):

Малюнок 2. Отриманий вектор з графічної суми векторів. Джерело: саморобний.

Отримана фігура в цьому випадку є трикутником (трикутник - це тристоронній багатокутник). Якщо у нас є два вектори в одному напрямку, процедура однакова: помістіть один з векторів за іншим і намалюйте той, який йде від початку або хвоста першого до кінчика або кінця останнього.

Зауважте, що порядок виконання цієї процедури не має значення, оскільки сума векторів є комутативною.

Також зауважимо, що в цьому випадку модуль (довжина або розмір) отриманого вектора є сумою модулів доданих векторів, на відміну від попереднього випадку, в якому модуль результуючого вектора менший від суми модулі учасників

Паралелограмний метод

Цей метод дуже підходить, коли потрібно додати два вектори, точки початку яких збігаються, скажімо, з початком системи координат xy. Припустимо, що це стосується наших векторів u і v (мал. 3а):

Малюнок 3. Сума двох векторів за допомогою методу паралелограма з отриманим вектором у бірюзовому синьому кольорі. Джерело: саморобний.

На малюнку 3b) паралелограм побудований за допомогою пунктирних ліній, паралельних u та v . Отриманий вектор має своє початок в O і його кінець у точці, де пунктирні лінії перетинаються. Ця процедура повністю еквівалентна описаній у попередньому розділі.

Вправи

-Вправа 1

З огляду на наступні вектори, знайдіть отриманий вектор, використовуючи метод траверси.

Малюнок 4. Вектори, щоб знайти їх результат, використовуючи полігональний метод. Вправа 1. Джерело: власне опрацювання.

Рішення

Метод траверсу - це перший із розглянутих методів. Пам'ятайте, що сума векторів є комутативною (порядок доповнень не змінює суму), тому ви можете почати з будь-якого з векторів, наприклад u (рисунок 5a) або r (рисунок 5b):

Малюнок 5. Сума векторів за допомогою полігонального методу. Джерело: саморобний.

Малюнок , отриманий являє собою багатокутник , і результуючий вектор (синім) називається R . Якщо ви почнете з іншого вектора, форма, що утворюється, може бути різною, як показано в прикладі, але отриманий вектор однаковий.

Вправа 2

На наступному малюнку ми знаємо, що модулі векторів u і v відповідно є u = 3 довільні одиниці і v = 1,8 довільних одиниць. Кут, який ви робите з позитивною віссю х, дорівнює 45º, а v - 60º з віссю y, як видно на малюнку. Знайдіть отриманий вектор, величину та напрямок.

Рішення

У попередньому розділі отриманий вектор був знайдений методом паралелограма (у бірюзі на малюнку).

Простий спосіб аналітичного пошуку результуючого вектора полягає в вираженні доданих векторів за допомогою декартових компонентів, що є легким завданням, коли відомі модуль і кут, такі як вектори в цьому прикладі:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2.12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Вектори u і v - це вектори, що належать площині, тому мають по дві складові кожен. Вектор u знаходиться в першому квадранті і його компоненти є позитивними, тоді як вектор v знаходиться в четвертому квадранті; його компонент x позитивний, але його проекція на вертикальну вісь падає на негативну вісь y.

Розрахунок декартових компонентів результуючого вектора

Отриманий вектор знаходимо, додаючи алгебраїчно відповідні компоненти x і y, щоб отримати їх декартові компоненти:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _у = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Після того, як декартові компоненти будуть визначені, вектор повністю відомий. Отриманий вектор можна виразити позначеннями в дужках:

R = <3,68; 1,22> довільні одиниці

Нотація дужок використовується для відмежування вектора від точки в площині (або в просторі). Інший спосіб аналітичного вираження отриманого вектора полягає в використанні одиничних векторів i і j в площині ( i , j і k у просторі):

R = 3,68 i + 1,22 j довільних одиниць

Оскільки обидва компоненти результуючого вектора позитивні, вектор R належить до першого квадранта, що вже було видно графічно.

Величина та напрямок отриманого вектора

Знаючи декартові компоненти, величина R обчислюється за теоремою Піфагора, так як в результаті вектора R , разом з її компонентами R _х і R _і утворюють правильний трикутник:

Величина або модуль: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Напрямок q, приймаючи позитивну вісь x як еталон: q = арктан (R _y / R _x ) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Список літератури

1. Додавання векторів та правил. Отримано з: newt.phys.unsw.edu.au
2. Фігероа, Д. Серія: Фізика для наук та техніки. Том 1. Кінематика. 31-68.
3. Фізичні. Модуль 8: Вектори. Відновлено з: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Механіка для інженерів. Статичний 6-е видання. Видавнича компанія «Континенталь». 15-53.
5. Вектор калькулятор доповнення Отримано з: www.1728.org