ВЕКТОРИ В КОСМОСІ: ЯК ГРАФІК, ДОДАТКИ, ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Вектор в просторі це все , що представлено в системі координат , заданої х, у і р Більшу частину часу площиною xy є горизонтальна площина поверхні, а вісь z позначає висоту (або глибину).

Декартові координатні осі, показані на малюнку 1, ділять простір на 8 областей, званих октантами, аналогічно тому, як осі x - y ділять площину на 4 квадранти. Тоді у нас буде 1-й октант, 2-й октант тощо.

Малюнок 1. Вектор у просторі. Джерело: саморобний.

Фіг.1 містить подання вектора v у просторі. Для створення ілюзії трьох вимірів на площині екрана потрібна певна перспектива, що досягається нанесенням косого виду.

Щоб побудувати графік 3D-вектора, потрібно використовувати пунктирні лінії, які визначають на сітці координати проекції чи "тіні" v на поверхні xy. Ця проекція починається на O і закінчується в зеленій точці.

Потрапивши туди, вам потрібно продовжувати по вертикалі до необхідної висоти (або глибини) відповідно до значення z, поки не досягнете P. Векторний малюється починаючи з O і закінчуючи на P, який у прикладі знаходиться в 1-му октанті.

Програми

Вектори в космосі широко використовуються в механіці та інших галузях фізики та техніки, оскільки споруди, які нас оточують, потребують геометрії в трьох вимірах.

Вектори позиції в просторі використовуються для позиціонування об'єктів відносно опорної точки, яка називається джерелом АБО, тому вони також є необхідними інструментами навігації, але це ще не все.

Сили, що діють на такі конструкції, як болти, кронштейни, кабелі, підкоси та інше, мають векторну природу та орієнтовані в просторі. Для того, щоб дізнатися про його дію, необхідно знати його адресу (а також її точку застосування).

І часто напрямок сили відомий завдяки знанню двох точок у просторі, які належать до його лінії дії. Таким чином сила:

F = F u

Де F є величина або величина сили , і у одиничний вектор (модуль 1) , спрямований уздовж лінії дії F .

Позначення та 3D-векторні зображення

Перш ніж ми перейдемо до розв’язання деяких прикладів, ми коротко розглянемо 3D-позначення.

У прикладі на малюнку 1 вектор v, точка початку якого збігається з початком O і кінцем якого є точка P, має позитивні координати xyz, тоді як y координата від'ємна. Це координати: x ₁ , y ₁ , z ₁ , які є точно координатами P.

Отже, якщо у нас є вектор, пов'язаний з початком, тобто початкова точка якого збігається з O, дуже легко вказати його координати, які будуть крайню точку або P. Щоб розрізнити точку і вектор, ми будемо використовувати останні жирні букви та дужки, такі:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Тоді як точка P позначається дужками:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Інше подання використовує одиничні вектори i , j і k, які визначають три напрямки простору на осях x, y та z відповідно.

Ці вектори перпендикулярні один одному та утворюють ортонормальну основу (див. Рисунок 2). Це означає, що тривимірний вектор можна записати через них як:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Кути та режими косинусів вектора

На малюнку 2 також показані кути директора γ ₁ , γ ₂ та γ _3, які вектор v складає відповідно з осями x, y та z. Знаючи ці кути та величину вектора, це повністю визначається. Крім того, косинуси кутів директора відповідають такому співвідношенню:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Малюнок 2. Одиничні вектори i, j та k визначають 3 переважні напрямки простору. Джерело: саморобний.

Розв’язані вправи

-Вправа 1

На малюнку 2 кути γ ₁ , γ ₂ і γ _3, що вектор v модуля 50 утворює з осями координат, відповідно: 75,0º, 60,0º та 34,3º. Знайдіть декартові компоненти цього вектора та представіть його за одиничними векторами i , j та k .

Рішення

Проекція вектора v на вісь _x дорівнює v _x = 50. cos 75º = 12 941. Таким же чином проекція v на вісь y дорівнює v _y = 50 cos 60 º = 25 і, нарешті, на вісь z дорівнює v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Тепер v можна виразити так:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Вправа 2

Знайдіть напругу в кожному з кабелів, які утримують відро на рисунку, який знаходиться в рівновазі, якщо його вага становить 30 Н.

Малюнок 3. Діаграма напруги для вправи 2.

Рішення

На ковші діаграма вільного тіла вказує, що T _D (зелений) компенсує вагу W (жовтий), тому T _D = W = 30 N.

У вузлі вектор T _D спрямований вертикально вниз, тоді:

T _D = 30 (- k ) N.

Щоб встановити решту напруг, виконайте наступні дії:

Крок 1: Знайдіть координати всіх точок

A = (4,5,0,3) (A - на площині стіни xz)

B = (1,5,0,0) (B - на осі x)

C = (0, 2,5, 3) (C - на площині стіни і z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D знаходиться в горизонтальній площині xy)

Крок 2: Знайдіть вектори в кожному напрямку, віднімаючи координати кінця і початку

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; один; 3>

БД = <0; -1,5; 0>

Крок 3: Обчисліть модулі та одиничні вектори

Одиничний вектор виходить виразом: u = r / r, при цьому r (жирним шрифтом) є вектором, а r (не жирним шрифтом) - модулем зазначеного вектора.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; один; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _БД = <0; -один; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Крок 4: Виразіть усі напруження як вектори

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -один; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Крок 5: Застосуйте умову статичної рівноваги та розв’яжіть систему рівнянь

Нарешті, умова статичної рівноваги застосовується до відра, так що векторна сума всіх сил на вузлі дорівнює нулю:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Оскільки напруження знаходяться в просторі, це призведе до створення трьох рівнянь для кожного компонента (x, y та z) напружень.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Рішення: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 Н

Список літератури

1. Бедфорд, 2000. А. Інженерна механіка: статика. Аддісон Веслі. 38-52.
2. Фігероа, Д. Серія: Фізика для наук та техніки. Том 1. Кінематика. 31-68.
3. Фізичні. Модуль 8: Вектори. Відновлено з: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Механіка для інженерів. Статичний 6-е видання. Видавнича компанія «Континенталь». 15-53.
5. Вектор калькулятор доповнення Відновлено: 1728.org