- Програми
- Позначення та 3D-векторні зображення
- Кути та режими косинусів вектора
- Розв’язані вправи
- -Вправа 1
- Рішення
- -Вправа 2
- Рішення
- Крок 1: Знайдіть координати всіх точок
- Крок 2: Знайдіть вектори в кожному напрямку, віднімаючи координати кінця і початку
- Крок 3: Обчисліть модулі та одиничні вектори
- Крок 4: Виразіть усі напруження як вектори
- Крок 5: Застосуйте умову статичної рівноваги та розв’яжіть систему рівнянь
- Список літератури
Вектор в просторі це все , що представлено в системі координат , заданої х, у і р Більшу частину часу площиною xy є горизонтальна площина поверхні, а вісь z позначає висоту (або глибину).
Декартові координатні осі, показані на малюнку 1, ділять простір на 8 областей, званих октантами, аналогічно тому, як осі x - y ділять площину на 4 квадранти. Тоді у нас буде 1-й октант, 2-й октант тощо.
Малюнок 1. Вектор у просторі. Джерело: саморобний.
Фіг.1 містить подання вектора v у просторі. Для створення ілюзії трьох вимірів на площині екрана потрібна певна перспектива, що досягається нанесенням косого виду.
Щоб побудувати графік 3D-вектора, потрібно використовувати пунктирні лінії, які визначають на сітці координати проекції чи "тіні" v на поверхні xy. Ця проекція починається на O і закінчується в зеленій точці.
Потрапивши туди, вам потрібно продовжувати по вертикалі до необхідної висоти (або глибини) відповідно до значення z, поки не досягнете P. Векторний малюється починаючи з O і закінчуючи на P, який у прикладі знаходиться в 1-му октанті.
Програми
Вектори в космосі широко використовуються в механіці та інших галузях фізики та техніки, оскільки споруди, які нас оточують, потребують геометрії в трьох вимірах.
Вектори позиції в просторі використовуються для позиціонування об'єктів відносно опорної точки, яка називається джерелом АБО, тому вони також є необхідними інструментами навігації, але це ще не все.
Сили, що діють на такі конструкції, як болти, кронштейни, кабелі, підкоси та інше, мають векторну природу та орієнтовані в просторі. Для того, щоб дізнатися про його дію, необхідно знати його адресу (а також її точку застосування).
І часто напрямок сили відомий завдяки знанню двох точок у просторі, які належать до його лінії дії. Таким чином сила:
F = F u
Де F є величина або величина сили , і у одиничний вектор (модуль 1) , спрямований уздовж лінії дії F .
Позначення та 3D-векторні зображення
Перш ніж ми перейдемо до розв’язання деяких прикладів, ми коротко розглянемо 3D-позначення.
У прикладі на малюнку 1 вектор v, точка початку якого збігається з початком O і кінцем якого є точка P, має позитивні координати xyz, тоді як y координата від'ємна. Це координати: x 1 , y 1 , z 1 , які є точно координатами P.
Отже, якщо у нас є вектор, пов'язаний з початком, тобто початкова точка якого збігається з O, дуже легко вказати його координати, які будуть крайню точку або P. Щоб розрізнити точку і вектор, ми будемо використовувати останні жирні букви та дужки, такі:
v = <x 1 , y 1 , z 1 >
Тоді як точка P позначається дужками:
P = (x 1 , y 1 , z 1 )
Інше подання використовує одиничні вектори i , j і k, які визначають три напрямки простору на осях x, y та z відповідно.
Ці вектори перпендикулярні один одному та утворюють ортонормальну основу (див. Рисунок 2). Це означає, що тривимірний вектор можна записати через них як:
v = v x i + v y j + v z k
Кути та режими косинусів вектора
На малюнку 2 також показані кути директора γ 1 , γ 2 та γ 3, які вектор v складає відповідно з осями x, y та z. Знаючи ці кути та величину вектора, це повністю визначається. Крім того, косинуси кутів директора відповідають такому співвідношенню:
(cos γ 1 ) 2 + (cos γ 2 ) 2 + (cos γ 3 ) 2 = 1
Малюнок 2. Одиничні вектори i, j та k визначають 3 переважні напрямки простору. Джерело: саморобний.
Розв’язані вправи
-Вправа 1
На малюнку 2 кути γ 1 , γ 2 і γ 3, що вектор v модуля 50 утворює з осями координат, відповідно: 75,0º, 60,0º та 34,3º. Знайдіть декартові компоненти цього вектора та представіть його за одиничними векторами i , j та k .
Рішення
Проекція вектора v на вісь x дорівнює v x = 50. cos 75º = 12 941. Таким же чином проекція v на вісь y дорівнює v y = 50 cos 60 º = 25 і, нарешті, на вісь z дорівнює v z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Тепер v можна виразити так:
v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k
-Вправа 2
Знайдіть напругу в кожному з кабелів, які утримують відро на рисунку, який знаходиться в рівновазі, якщо його вага становить 30 Н.
Малюнок 3. Діаграма напруги для вправи 2.
Рішення
На ковші діаграма вільного тіла вказує, що T D (зелений) компенсує вагу W (жовтий), тому T D = W = 30 N.
У вузлі вектор T D спрямований вертикально вниз, тоді:
T D = 30 (- k ) N.
Щоб встановити решту напруг, виконайте наступні дії:
Крок 1: Знайдіть координати всіх точок
A = (4,5,0,3) (A - на площині стіни xz)
B = (1,5,0,0) (B - на осі x)
C = (0, 2,5, 3) (C - на площині стіни і z)
D = (1,5, 1,5, 0) (D знаходиться в горизонтальній площині xy)
Крок 2: Знайдіть вектори в кожному напрямку, віднімаючи координати кінця і початку
DA = <3; -1,5; 3>
DC = <-1,5; один; 3>
БД = <0; -1,5; 0>
Крок 3: Обчисліть модулі та одиничні вектори
Одиничний вектор виходить виразом: u = r / r, при цьому r (жирним шрифтом) є вектором, а r (не жирним шрифтом) - модулем зазначеного вектора.
DA = (3 2 + (-1,5) 2 + 3 2 ) ½ = 4,5; DC = ((-1,5) 2 + 1 2 + 3 2 ) ½ = 3,5
u DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>
u DC = <-1,5; один; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>
u БД = <0; -один; 0>
u D = <0; 0; -1>
Крок 4: Виразіть усі напруження як вектори
T DA = T DA u DA = T DA <0,67; -0,33; 0,67>
T DC = T DC u DC = T DC <-0,43; 0,29; 0,86>
T DB = T DB u DB = T DB <0; -один; 0>
T D = 30 <0; 0; -1>
Крок 5: Застосуйте умову статичної рівноваги та розв’яжіть систему рівнянь
Нарешті, умова статичної рівноваги застосовується до відра, так що векторна сума всіх сил на вузлі дорівнює нулю:
T DA + T DC + T DB + T D = 0
Оскільки напруження знаходяться в просторі, це призведе до створення трьох рівнянь для кожного компонента (x, y та z) напружень.
0,67 T DA -0,43 T DC + 0 T DB = 0
-0,33 T DA + 0,29 T DC - T DB = 0
0,67 T DA + 0,86 T DC +0 T DB - 30 = 0
Рішення: T DA = 14,9 N; T DA = 23,3 N; T DB = 1,82 Н
Список літератури
- Бедфорд, 2000. А. Інженерна механіка: статика. Аддісон Веслі. 38-52.
- Фігероа, Д. Серія: Фізика для наук та техніки. Том 1. Кінематика. 31-68.
- Фізичні. Модуль 8: Вектори. Відновлено з: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Механіка для інженерів. Статичний 6-е видання. Видавнича компанія «Континенталь». 15-53.
- Вектор калькулятор доповнення Відновлено: 1728.org