КУТОВА ШВИДКІСТЬ: ВИЗНАЧЕННЯ, ФОРМУЛА, ОБЧИСЛЕННЯ ТА ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Кутова швидкість є мірою швидкості обертання і визначається як кут , який обертає вектор положення обертового об'єкта, в одиницю часу. Це величина, яка дуже добре описує рух безлічі предметів, які постійно обертаються скрізь: компакт-диски, колеса автомобіля, машини, Земля та багато іншого.

Діаграма «лондонського ока» можна побачити на наступному малюнку. Він представляє рух пасажира, представленого точкою P, яка слідує за круговою доріжкою, називається c:

Схематичне зображення кругової стежки, за якою слідує пасажир «Лондонського ока». Джерело: саморобний.

Пасажир займає положення P в момент t, а кутове положення, відповідне цьому моменту, дорівнює ϕ.

З моменту t минає проміжок часу Δt. У цей період нове положення пунктуального пасажира дорівнює P ', а кутове положення збільшилося на кут Δϕ.

Як обчислюється кутова швидкість?

Для обертальних величин широко використовують грецькі букви, щоб відмежувати їх від лінійних величин. Отже, спочатку середня кутова швидкість ω _m визначається як кут, пройдений за певний проміжок часу.

Тоді коефіцієнт Δϕ / Δt буде представляти середню кутову швидкість ω _m між моментами t і t + Δt.

Якщо ви хочете обчислити кутову швидкість саме в момент t, то вам слід обчислити відношення Δϕ / Δt, коли Δt ➡0:

Зв'язок між лінійною та кутовою швидкістю

Лінійна швидкість v - коефіцієнт між пройденою дистанцією та часом, необхідним для її проходження.

На малюнку вище пройдена дуга - Δs. Але ця дуга пропорційна пройденому куту та радіусу, при цьому виконується наступне співвідношення, яке діє до тих пір, поки Δϕ вимірюється в радіанах:

Δs = r ・ Δϕ

Якщо поділити попередній вираз на проміжок часу Δt і взяти межу при Δt ➡0, отримаємо:

v = r ・ ω

Рівномірний обертальний рух

На зображенні знаменитий «око Лондона», 135 м високе прядильне колесо, яке повільно обертається, щоб люди могли сісти в кабіни біля його бази та насолодитися лондонськими пейзажами. Джерело: Pixabay.

Обертальний рух рівномірний, якщо в будь-який спостережений момент кут пройденого кута однаковий за той самий проміжок часу.

Якщо обертання рівномірне, то кутова швидкість у будь-який момент збігається із середньою кутовою швидкістю.

Крім того, коли зроблений повний поворот, кут проїзду дорівнює 2π (еквівалентно 360º). Тому при рівномірному обертанні кутова швидкість ω пов'язана з періодом T за такою формулою:

f = 1 / T

Тобто, при рівномірному обертанні кутова швидкість пов'язана з частотою на:

ω = 2π ・ f

Вирішили задачі кутової швидкості

Вправа 1

Каюти великого прядильного колеса, відомого як "око Лондона", рухаються повільно. Швидкість кабіни - 26 см / с, а колесо - діаметром 135 м.

За допомогою цих даних обчислюють:

i) Кутова швидкість колеса

ii) Частота обертання

iii) Час, який потрібен кабіні, щоб зробити повний поворот.

Відповіді:

і) Швидкість v м / с становить: v = 26 см / с = 0,26 м / с.

Радіус половини діаметра: r = (135 м) / 2 = 67,5 м

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 м / с) / (67,5 м) = 0,00385 рад / с

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 рад / с) / (2π рад) = 6,13 х 10 ^-4 витків / с

f = 6,13 x 10 ^ -4 обороту / с = 0,0368 обороту / хв = 2,21 обороту / годину.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 коліна / година = 0,45311 година = 27 хв 11 сек

Вправа 2

Іграшковий автомобіль рухається круговою доріжкою з радіусом 2м. При 0 s його кутове положення дорівнює 0 рад, але через час t його кутове положення задається:

φ (t) = 2 ・ t

Визначте:

i) Кутова швидкість

ii) Лінійна швидкість у будь-який момент.

Відповіді:

i) Кутова швидкість - похідна від кутового положення: ω = φ '(t) = 2.

Іншими словами, іграшковий автомобіль у всі часи має постійну кутову швидкість, рівну 2 рад / с.

ii) Лінійна швидкість автомобіля дорівнює: v = r ・ ω = 2 м ・ 2 рад / с = 4 м / с = 14,4 км / год

Вправа 3

Та сама машина з попередньої вправи починає зупинятися. Її кутове положення як функція часу задається наступним виразом:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Визначте:

i) Кутова швидкість у будь-який момент

ii) Лінійна швидкість у будь-який момент

iii) Час, який потрібно зупинити з моменту, коли він починає сповільнюватися

iv) Проїжджаючий кут

v) пройдена відстань

Відповіді:

i) Кутова швидкість - похідна від кутового положення: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) Лінійна швидкість автомобіля в будь-який момент задається:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Час, який потрібно зупинити з моменту, коли він починає сповільнюватися, визначається знанням моменту, в який швидкість v (t) стає нульовою.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Це означає, що він зупиняється через 2 с після початку гальмування.

iv) У період 2 s, коли він починає гальмувати до зупинки, проходить кут, заданий φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 рад = 2 х 180 / π = 114,6 градусів

v) У період 2 с від початку гальмування до упору пройдена відстань s, задана:

s = r ・ φ = 2м ・ 2 рад = 4 м

Вправа 4

Колеса автомобіля діаметром 80 см. Якщо машина їде зі швидкістю 100 км / год. Знайдіть: i) кутову швидкість обертання коліс, ii) частоту обертання коліс, iii) кількість обертів колеса, які здійснюють за 1 годину.

Відповіді:

i) Перш за все, ми збираємось перетворити швидкість автомобіля з км / год в год / с

v = 100 Км / год = (100 / 3,6) м / с = 27,78 м / с

Кутова швидкість обертання коліс задається:

ω = v / r = (27,78 м / с) / (0,4 м) = 69,44 рад / с

ii) Частота обертання коліс задається:

f = ω / 2π = (69,44 рад / с) / (2π рад) = 11,05 обороту / с

Частота обертання зазвичай виражається в обертах в хвилину об / хв

f = 11,05 обороту / с = 11,05 обороту / (1/60) хв = 663,15 об / хв

iii) Кількість кіл, які колесо робить за 1 годину подорожі, обчислюється, знаючи, що 1 година = 60 хв і що частота - це кількість кіл N, поділене на час, за який зроблено ці N кіл.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (обертів / хв) х 60 хв = 39788,7 витків.

Список літератури

1. Джанколі, Д. Фізика. Принципи застосування. 6-е видання. Prentice Hall. 106-108.
2. Реснік, Р. (1999). Фізичні. Том 1. Третє видання іспанською мовою. Мексика. Compañía Редакція Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Фізика для науки та техніки. Том 1. 7-е. Видання. Мексика. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. geogebra.org