СЕРЕДНЯ КУТОВА ШВИДКІСТЬ: ВИЗНАЧЕННЯ ТА ФОРМУЛИ, РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Середня кутова швидкість обертання визначається як кут повернені в одиницю часу радіус - вектора точки , яка описує круговий рух. Лопаті стельового вентилятора (як показано на рисунку 1) слідкують за круговим рухом, а їх середня кутова швидкість обертання обчислюється за допомогою коефіцієнта між повернутим кутом та часом проходження цього кута.

Правила, яких слід обертальний рух, дещо схожі на звичні для поступального руху. Пройдені відстані також можна виміряти в метрах, однак кутові величини особливо актуальні, оскільки вони значно полегшують опис руху.

Рисунок 1. Лопатки вентилятора мають кутову швидкість. Джерело: Pixabay

Взагалі грецькі літери використовуються для кутових величин, а латинські літери - для відповідних лінійних величин.

Визначення та формули

На малюнку 2 зображено рух точки по круговому шляху c. Положення P точки відповідає моменту t, а кутове положення, відповідне цьому моменту, дорівнює ϕ.

З моменту t минає проміжок часу Δt. У цей період нове положення точки - P ', а кутове положення збільшилося на кут Δϕ.

Малюнок 2. Круговий рух точки. Джерело: саморобний

Середня кутова швидкість ω - кут, пройдений за одиницю часу, тому коефіцієнт Δϕ / Δt буде представляти середню кутову швидкість між часом t і t + Δt:

Оскільки кут вимірюється в радіанах і час у секундах, то одиницею середньої кутової швидкості є рад / с. Якщо ми хочемо обчислити кутову швидкість саме в момент t, тоді нам доведеться обчислити відношення Δϕ / Δt, коли Δt ➡0.

Рівномірне обертання

Обертальний рух рівномірний, якщо в будь-який спостережений момент кут пройденого кута однаковий за той самий проміжок часу. Якщо обертання рівномірне, то кутова швидкість у будь-який момент збігається із середньою кутовою швидкістю.

При рівномірному обертальному русі час, за який робиться один повний оберт, називається періодом і позначається Т.

Крім того, коли зроблений повний поворот, пройдений кут дорівнює 2π, тому при рівномірному обертанні кутова швидкість ω пов'язана з періодом T за такою формулою:

Частота f рівномірного обертання визначається як коефіцієнт між кількістю витків і часом, який використовується для їх проходження, тобто якщо N поворотів зроблено за час Δt, то частота буде такою:

f = N / Δt

Оскільки один виток (N = 1) пройдений у часі T (період), виходить таке співвідношення:

f = 1 / T

Тобто при рівномірному обертанні кутова швидкість пов'язана з частотою через відношення:

ω = 2π ・ f

Зв'язок між кутовою швидкістю та лінійною швидкістю

Лінійна швидкість v - коефіцієнт між пройденою дистанцією та часом, необхідним для її проходження. На малюнку 2 пройдена відстань - це довжина дуги Δs.

Дуга Δs пропорційна пройденому куту Δϕ та радіусу r, виконуючи таке співвідношення:

Δs = r ・ Δϕ

За умови, що Δϕ вимірюється в радіанах.

Якщо поділити попередній вираз на проміжок часу Δt, отримаємо:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

Коефіцієнт першого члена - лінійна швидкість, а коефіцієнт другого члена - середня кутова швидкість:

v = r ・ ω

Розв’язані вправи

-Вправа 1

Кінчики лопатей стельового вентилятора, показані на рисунку 1, рухаються зі швидкістю 5 м / с, а лопаті мають радіус 40 см.

За цими даними обчисліть: i) середню кутову швидкість колеса, ii) кількість витків, які колесо робить за одну секунду, iii) період у секундах.

Рішення

і) Лінійна швидкість v = 5 м / с.

Радіус дорівнює r = 0,40 м.

Зі співвідношення між лінійною швидкістю і кутовою швидкістю вирішуємо останню:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 м / с) / (0,40 м) = 12,57 рад / с

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 рад / с) / (2π рад) = 2 обороту / с

iii) T = 1 / f = 1 / (2 обороту / с) = 0,5 с на кожен виток.

-Вправа 2

Іграшкова коляска рухається по круговій доріжці радіусом 2м. При 0s його кутове положення дорівнює 0 рад, але через час t його кутове положення

φ (t) = 2 ・ t.

За допомогою цих даних

i) Обчислити середню кутову швидкість у наступних часових інтервалах; ; і нарешті в проміжок часу.

ii) На основі результатів частини i) Що можна сказати про рух?

iii) Визначте середню лінійну швидкість за той самий проміжок часу з частини i)

iv) Знайдіть кутову швидкість та лінійну швидкість на будь-який момент.

Рішення

i) Середня кутова швидкість задається наступною формулою:

Переходимо до обчислення пройденого кута та проміжок часу, що минув у кожному інтервалі.

Інтервал 1: Δϕ = ϕ (0,5s) - ϕ (0,0s) = 2 (рад / с) * 0,5с - 2 (рад / с) * 0,0с = 1,0 рад

Δt = 0,5s - 0,0s = 0,5s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 рад / с

Інтервал 2: Δϕ = ϕ (1.0s) - ϕ (0.5s) = 2 (rad / s) * 1.0s - 2 (rad / s) * 0.5s = 1.0 rad

Δt = 1,0s - 0,5s = 0,5s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 рад / с

Інтервал 3: Δϕ = ϕ (1,5s) - ϕ (1,0s) = 2 (rad / s) * 1,5s - 2 (rad / s) * 1,0s = 1,0 rad

Δt = 1,5s - 1,0s = 0,5s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 рад / с

Інтервал 4: Δϕ = ϕ (1,5s) - ϕ (0,0s) = 2 (rad / s) * 1,5s - 2 (rad / s) * 0,0s = 3,0 рад

Δt = 1,5s - 0,0s = 1,5s

ω = Δϕ / Δt = 3,0rad / 1,5s = 2,0 рад / с

ii) З огляду на попередні результати, в яких середня кутова швидкість обчислювалася в різні часові проміжки, завжди отримуючи однаковий результат, здається, це означає, що це рівномірний круговий рух. Однак ці результати не є переконливими.

Спосіб забезпечення висновку полягає в обчисленні середньої кутової швидкості для довільного інтервалу: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 рад / с

Це означає, що коляска іграшки має постійну середню кутову швидкість 2 рад / с у будь-який розглянутий період часу. Але ви можете піти далі, якщо обчислити миттєву кутову швидкість:

Це трактується так, що іграшковий автомобіль у всі часи має постійну кутову швидкість = 2 рад / с.

Список літератури

1. Джанколі, Д. Фізика. Принципи застосування. 6-е видання. Prentice Hall. 30– 45.
2. Кіркпатрик, Л. 2007. Фізика: погляд у світ. 6 ^та Редагування скорочено. Cengage Learning. 117.
3. Реснік, Р. (1999). Фізичні. Том 1. Третє видання іспанською мовою. Мексика. Compañía Редакція Continental SA de CV 33-52.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Фізика для науки та техніки. Том 1. 7-е. Видання. Мексика. Cengage Learning Editors. 32-55.
5. Вікіпедія. Кутова швидкість. Відновлено з: wikipedia.com