- Закони Кеплера
- Чому планети еліптично рухаються навколо Сонця?
- Величина лінійної швидкості планети не є постійною
- Ареолярна швидкість
- Вправа
- Відповідь на)
- Відповідь В)
Ареолярную швидкість є область охопила в одиницю часу і є постійною. Він специфічний для кожної планети і виникає з опису другого закону Кеплера в математичній формі. У цій статті ми пояснимо, що це таке і як воно розраховується.
Бум, який представляє відкриття планет поза Сонячною системою, активізував інтерес до руху планети. Ніщо не змушує нас повірити, що ці екзопланети відповідають іншим законам, ніж ті, які вже відомі і діють у Сонячній системі: закони Кеплера.
Йоганнес Кеплер був астрономом, який без допомоги телескопа і за допомогою спостережень свого наставника Тіхо Браге створив математичну модель, яка описує рух планет навколо Сонця.
Він залишив цю модель, втілену в трьох законах, що носять його ім'я, і які є такими ж чинними, як і в 1609 році, коли він встановив перші два, а в 1618 році - дату, коли він оголосив третій.
Закони Кеплера
У сучасній мові три закони Кеплера читають так:
1. Орбіти всіх планет еліптичні, а Сонце знаходиться в одному фокусі.
2. Вектор положення від Сонця до планети проникає по рівних ділянках у рівний час.
3. Квадрат орбітального періоду планети пропорційний кубу напівмагістральної осі описаного еліпса.
Планета матиме лінійну швидкість, як і будь-який відомий рухомий об’єкт. І є ще багато іншого: при написанні другого закону Кеплера в математичній формі виникає нове поняття, яке називається ареолярною швидкістю, типовою для кожної планети.
Чому планети еліптично рухаються навколо Сонця?
Земля та інші планети рухаються навколо Сонця завдяки тому, що воно чинить на них силу: гравітаційне тяжіння. Те саме відбувається з будь-якою іншою зіркою і планетами, що складають її систему, якщо вона їх має.
Це сила типу, відома як центральна сила. Вага - це центральна сила, з якою всі знайомі. Об'єкт, що чинить центральну силу, будь то Сонце чи далека зірка, притягує планети до свого центру, і вони рухаються закритою кривою.
В принципі цю криву можна наблизити до кола, як це робив Ніколас Коперник, польський астроном, який створив геліоцентричну теорію.
Відповідальною силою є гравітаційне тяжіння. Ця сила безпосередньо залежить від маси зірки та відповідної планети і обернено пропорційна квадрату відстані, що їх розділяє.
Проблема не така проста, тому що в Сонячній системі всі елементи взаємодіють таким чином, додаючи матерії складність. Крім того, вони не є частинками, оскільки зірки та планети мають вимірювані розміри.
З цієї причини центральна точка орбіти або ланцюга, що рухається планетами, точно не в центрі зорі, а в точці, відомій як центр ваги системи Сонця-планети.
Отримана орбіта еліптична. Наведене нижче зображення показує це, беручи за приклад Землю та Сонце:
Малюнок 1. Орбіта Землі еліптична, а Сонце розташоване в одному з вогнищ. Коли Земля і Сонце знаходяться на максимальній відстані, то, як кажуть, Земля знаходиться в афелії. І якщо відстань мінімальна, тоді ми говоримо про перигелій.
Афелій - це найдаліше місце на Землі від Сонця, тоді як перигелій - найближча точка. Еліпс може бути більш-менш сплющеним, залежно від особливостей системи зірки-планети.
Значення афелія та перигеліону змінюються щорічно, оскільки інші планети викликають порушення. Для інших планет ці позиції називають відповідно апоастрами та периастерами.
Величина лінійної швидкості планети не є постійною
Кеплер виявив, що коли планета орбітує Сонце, під час свого руху вона змітає рівні площі в рівний час. На малюнку 2 графічно показано значення цього:
Малюнок 2. Вектор положення планети щодо Сонця - r. Коли планета описує свою орбіту, вона переміщує дугу еліпса Δs за час Δt.
Математично той факт, що A 1 дорівнює A 2 , виражається так:
Проведені дуги Δs невеликі, так що кожна площа може наближатись до трикутника:
Оскільки Δs = v Δ t, де v - лінійна швидкість планети в заданій точці, замінивши:
А оскільки часовий інтервал Δt однаковий, отримуємо:
Оскільки r 2 > r 1 , то v 1 > v 2 , іншими словами, лінійна швидкість планети не є постійною. Насправді Земля йде швидше, коли вона перебуває в перихеліоні, ніж тоді, коли вона знаходиться в афелії.
Тому лінійна швидкість Землі або будь-якої планети навколо Сонця не є величиною, яка служить характеристикою руху зазначеної планети.
Ареолярна швидкість
На наступному прикладі ми покажемо, як обчислити ареолярну швидкість, коли відомі деякі параметри руху планети:
Вправа
Екзо-планета рухається навколо Сонця за еліптичною орбітою, згідно із законами Кеплера. Коли він знаходиться в периастері, його радіус-вектор дорівнює r 1 = 4 · 10 7 км, а коли в апоастері - r 2 = 15 · 10 7 км. Лінійна швидкість у його периастері становить v 1 = 1000 км / с.
Обчисліть:
А) Величина швидкості в апоастро.
Б) Ареолярна швидкість екзопланети.
В) Довжина напівмагістральної осі еліпса.
Відповідь на)
Використовується рівняння:
в яких числові значення замінені.
Кожен термін визначається наступним чином:
v 1 = швидкість в апоастро; v 2 = швидкість у периастері; r 1 = відстань від апоастра,
r 2 = відстань від периастеру.
За допомогою цих значень ви отримуєте:
Відповідь В)
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Фізика для науки та техніки. Том 1. Мексика. Cengage Learning Editors. 367-372.
- Стерн, Д. (2005). Три закони Кеплера планетарного руху. Відновлено з pwg.gsfc.nasa.gov
- Примітка: запропонована вправа була взята та змінена з наступного тексту книги McGrawHill. На жаль, це окрема глава у форматі pdf, без назви чи автора: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf