13 КЛАСИ МНОЖИН ТА ПРИКЛАДІВ - КУЛЬТУРНА ЛЕКСИКА - 2025

У класи множин можуть бути класифіковані в рівній, кінцевого і нескінченного, підмножин, пустот, непересічних або диз'юнктивній, що еквівалентно, унітарна, накладеної або перекриває, конгруентних і не-конгруентних, серед інших.

Набір - це сукупність предметів, але нові терміни та символи необхідні, щоб мати можливість розважливо говорити про набори. Наприклад, ми говоримо набір коней, набір реальних чисел, набір людей, набір собак тощо.

У звичайній мові світ, в якому ми живемо, має сенс класифікувати речі. Іспанська має багато слів для таких колекцій. Наприклад, "зграя птахів", "стадо великої рогатої худоби", "рій бджіл" і "колонія мурах".

У математиці щось подібне робиться при класифікації чисел, геометричних фігур тощо. Об'єкти в цих наборах називаються елементами набору.

Опис набору

Набір можна описати, перерахувавши всі його елементи. Наприклад,

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S - це множина, елементи якої 1, 3, 5, 7 і 9." П’ять елементів набору відокремлені комами і перелічені в дужки.

Набір можна також розмежувати, подаючи визначення його елементів у квадратних дужках. Таким чином, набір S вище може бути записаний також як:

S = {непарні цілі числа менше 10}.

Набір повинен бути чітко визначений. Це означає, що опис елементів набору повинен бути чітким та однозначним. Наприклад, {високі люди} не є набором, оскільки люди, як правило, не згодні з тим, що означає "високий". Прикладом чітко визначеного набору є

T = {літери алфавіту}.

Види наборів

1- Рівні множини

Два набори рівні, якщо вони мають абсолютно однакові елементи.

Наприклад:

• Якщо A = {голосні алфавіту} і B = {a, e, i, o, u}, кажуть, що A = B.
• З іншого боку, множини {1, 3, 5} і {1, 2, 3} не є однаковими, оскільки вони мають різні елементи. Це записується як {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
• Порядок, в якому елементи записуються всередині дужок, зовсім не має значення. Наприклад, {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Якщо елемент з’являється у списку більше одного разу, він враховується лише один раз. Наприклад, {a, a, b} = {a, b}.

Множина {a, a, b} має лише два елементи a і b. Друга згадка про непотрібне повторення і може бути проігнорована. Зазвичай це вважається поганим позначенням, коли елемент перераховується не один раз.

2- Кінцеві та нескінченні множини

Кінцеві множини - це ті, де всі елементи множини можна перерахувати або перерахувати. Ось два приклади:

• {Цілі числа від 2000 до 2,005} = {2,001, 2,002, 2,003, 2,004}
• {Цілі числа від 2000 до 3000} = {2,001, 2,002, 2,003,…, 2999}

Три точки «…» у другому прикладі представляють інші 995 числа у наборі. Всі елементи могли бути в списку, але для економії місця натомість використовувались крапки. Цю позначення можна використовувати лише в тому випадку, якщо повністю зрозуміло, що це означає, як у цій ситуації.

Набір також може бути нескінченним - важливо лише те, що він чітко визначений. Ось два приклади нескінченних множин:

• {Парні числа і цілі числа, що перевищують або дорівнюють двом} = {2, 4, 6, 8, 10, …}
• {Цілі числа більше 2000} = {2,001, 2,002, 2,003, 2,004,…}

Обидва набори нескінченні, оскільки незалежно від того, скільки предметів ви намагаєтеся перерахувати, у наборі завжди є більше предметів, які не можуть бути перелічені, незалежно від того, як довго ви намагаєтесь. Цього разу крапки "…" мають дещо інше значення, оскільки вони представляють нескінченно багато ненумерованих предметів.

3- Встановлює підмножини

Підмножина - це частина набору.

• Приклад: Сови - це певний тип птахів, тому кожна сова є також птахом. Мовою множин це виражається тим, що безліч сов - це підмножина безлічі птахів.

Набір S називається підмножиною іншого набору T, якщо кожен елемент S є елементом T. Це записується як:

• S ⊂ T (Прочитайте "S - це підмножина T")

Новий символ ⊂ означає «є підмножиною». Тож {сови} ⊂ {птахи}, тому що кожна сова - птах.

• Якщо A = {2, 4, 6} і B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, то A ⊂ B,

Тому що кожен елемент A - це елемент B.

Символ ⊄ означає «не підмножина».

Це означає, що принаймні один елемент S не є елементом T. Наприклад:

• {Птахи} ⊄ {літаючі істоти}

Тому що страус - птах, але він не літає.

• Якщо A = {0, 1, 2, 3, 4} і B = {2, 3, 4, 5, 6}, то A ⊄

Оскільки 0 ∈ A, але 0 ∉ B, ми читаємо “0 належить множині A”, а “0 не належить множині B”.

4- Порожній набір

Символ Ø являє собою порожній набір, який є набором, у якого зовсім немає елементів. Ніщо у всьому Всесвіті не є елементом Ø:

• - Ø - = 0 і X ∉ Ø, незалежно від того, яким може бути X.

Є лише один порожній набір, оскільки два порожніх набори мають абсолютно однакові елементи, тому вони повинні бути рівними один одному.

5- диз'юнктивні чи диз'юнктивні множини

Дві множини називаються роз'єднаннями, якщо вони не мають спільних елементів. Наприклад:

• Множини S = ​​{2, 4, 6, 8} і T = {1, 3, 5, 7} роз'єднуються.

6- Еквівалентні множини

Кажуть, що A і B рівноцінні, якщо вони мають однакову кількість елементів, що їх складають, тобто кардинальне число множини A дорівнює кардинальному числу множини B, n (A) = n (B). Символ для позначення еквівалентного набору - '' '.

• Наприклад:
  A = {1, 2, 3}, тому n (A) = 3
  B = {p, q, r}, тому n (B) = 3
  Отже, A ↔ B

7- Одиничні набори

Це набір, в якому є рівно один елемент. Іншими словами, є лише один елемент, який складає ціле.

Наприклад:

• S = {a}
• Нехай B = {- це парне просте число}

Отже, B - це одиниця множин, оскільки є лише одне просте число, яке є парним, тобто 2.

8- Універсальний або референційний набір

Універсальний набір - це сукупність усіх об'єктів у певному контексті чи теорії. Усі інші множини в цьому кадрі складають підмножини універсального набору, який названий курсивом великої літери U.

Точне визначення U залежить від контексту чи теорії, що розглядається. Наприклад:

• U можна визначити як сукупність всього живого на планеті Земля. У цьому випадку множина всіх риб є підмножиною U, безліч всіх риб - ще одним підмножиною U.
• Якщо U визначено як сукупність усіх тварин на планеті Земля, то безліч усіх котячих є підмножиною U, безліч всіх риб - ще одна підмножина U, але множина всіх дерев не є підмножина U.

9- Набори перекриття або перекриття

Два набори, що мають принаймні один елемент спільного, називаються множинами, що перекриваються.

• Приклад: Нехай X = {1, 2, 3} і Y = {3, 4, 5}

Два набори X і Y мають один спільний елемент - число 3. Тому їх називають множинами, що перекриваються.

10- Конгруентні набори.

Вони є тими множинами, у яких кожен елемент A має однакові відстані в залежності від елементів зображення Б. Приклад:

• B {2, 3, 4, 5, 6} і A {1, 2, 3, 4, 5}

Відстань між: 2 і 1, 3 і 2, 4 і 3, 5 і 4, 6 і 5 є однією (1) одиницею, тому A і B - суперечливі множини.

11- Неконгруентні набори

Це ті, у яких однакове відношення відстані між кожним елементом у A не може бути встановлене з його зображенням у Б. Приклад:

• B {2, 8, 20, 100, 500} і A {1, 2, 3, 4, 5}

Відстань між: 2 і 1, 8 і 2, 20 і 3, 100 і 4, 500 і 5 різна, тому A і B - невідповідні множини.

12- Однорідні набори

Усі елементи, що складають набір, належать до однієї категорії, жанру чи класу. Вони одного типу. Приклад:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

Усі елементи B - це числа, тому множина вважається однорідною.

13- Гетерогенні множини

Елементи, що входять до набору, належать до різних категорій. Приклад:

• A {z, auto, π, будинки, блок}

Не існує категорії, до якої належать усі елементи множини, тому це гетерогенна множина.

Список літератури

1. Браун, П. та ін (2011). Набори та діаграми Венна. Мельбурн, Мельбурнський університет.
2. Кінцевий набір. Відновлено з: math.tutorvista.com.
3. Хун, Л. і Hoon, T (2009). Математичні погляди Середня 5 Нормальна (академічна). Сінгапур, Пірсон Освіта Південна Азія Pte Ld.
4. Відновлено з: searchsecurity.techtarget.com.
5. Види наборів. Відновлено з: math-only-math.com.