РОЗРАХУНОК НАБЛИЖЕНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ ДИФЕРЕНЦІАЛА - МАТЕМАТИКА - 2024

Наближення в математиці - це число, яке не є точним значенням чогось, але настільки близьке до нього, що воно вважається таким же корисним, як і саме це значення.

Коли в математиці робиться наближення, це тому, що вручну важко (а іноді і неможливо) дізнатися точне значення того, що ви хочете.

Основним інструментом при роботі з наближеннями є диференціал функції.

Диференціал функції f, позначений Δf (x), є не що інше, як похідна функції f, кратна зміні незалежної змінної, тобто Δf (x) = f '(x) * Δx.

Іноді df і dx використовують замість Δf і Δx.

Наближення з використанням диференціала

Формула, яка застосовується для здійснення наближення за допомогою диференціала, виникає саме з визначення похідної функції як граничної.

Ця формула задана:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Тут розуміється, що Δx = x-x0, тому x = x0 + Δx. Використовуючи це, формулу можна переписати як

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Слід зазначити, що "x0" - це не довільне значення, а таке значення, що f (x0) легко відоме; більше того, "f (x)" - це лише значення, яке ми хочемо наблизити.

Чи є кращі наближення?

Відповідь - так. Вищенаведене є найпростішим із наближень, що називається "лінійне наближення".

Для кращого наближення якості (допущена помилка менша) використовуються поліноми з більшою кількістю похідних під назвою "поліноми Тейлора", а також інші числові методи, такі як метод Ньютона-Рафсона серед інших.

Стратегія

Наступна стратегія:

- Оберіть відповідну функцію f, щоб здійснити наближення, і значення «x» таке, що f (x) - значення, яке слід наблизити.

- Виберіть значення "x0", близьке до "x", таке, що f (x0) легко обчислити.

- Обчисліть Δx = x-x0.

- Обчисліть похідну функції y f '(x0).

- Замініть дані формулою.

Розв’язані вправи на наближення

Далі йде низка вправ, де наближення здійснюються за допомогою диференціала.

Перша вправа

Приблизно √3.

Рішення

Дотримуючись стратегії, слід вибрати відповідну функцію. У цьому випадку видно, що обрана функція повинна бути f (x) = √x, а значення для апроксимації - f (3) = √3.

Тепер ми повинні вибрати значення "x0", близьке до "3", таке, що f (x0) легко обчислити. Якщо обрано "x0 = 2", то "x0" близький до "3", але f (x0) = f (2) = √2 обчислити непросто.

Відповідне значення "x0" - "4", оскільки "4" близьке до "3", а також f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Якщо "x = 3" і "x0 = 4", то Δx = 3-4 = -1. Тепер переходимо до обчислення похідної f. Тобто f '(x) = 1/2 * √x, тому f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Підставивши всі отримані значення у формулі:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Якщо ви використовуєте калькулятор, ви отримуєте, що ≈3≈1.73205… Це показує, що попередній результат є гарним наближенням до реального значення.

Друга вправа

Приблизно √10.

Рішення

Як і раніше, f (x) = √xy вибирається як функція, в даному випадку x = 10.

Значення x0 для вибору цього часу "x0 = 9". Тоді маємо, що Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 і f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

При оцінці у формулі виходить, що

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

За допомогою калькулятора виходить, що √10 ≈ 3.1622776… Тут також можна побачити, що раніше було отримано гарне наближення.

Третя вправа

Орієнтовна √10, де ³eno позначає корінь куба.

Рішення

Очевидно, що функція, яка використовується в цій вправі, є f (x) = ³√x, а значення "x" повинно бути "10".

Значення, близьке до "10", таке, що відомий його корінь куба, є "x0 = 8". Тоді маємо, що Δx = 10-8 = 2 і f (x0) = f (8) = 2. Маємо також, що f '(x) = 1/3 * ³√x², а отже, f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Підставляючи дані у формулу, виходить, що:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Калькулятор говорить, що √√10 ≈ 2.15443469… Отже, знайдене наближення добре.

Четверта вправа

Приблизний ln (1.3), де "ln" позначає природну функцію логарифму.

Рішення

Спочатку вибираємо як функцію f (x) = ln (x), а значення "x" дорівнює 1,3. Тепер, знаючи трохи про функцію логарифму, ми можемо знати, що ln (1) = 0, і, крім того, "1" близький до "1.3". Тому вибирається "x0 = 1" і, таким чином, Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

З іншого боку f '(x) = 1 / x, так що f' (1) = 1. При оцінці за даною формулою ми маємо:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Використовуючи калькулятор, маємо, що ln (1.3) ≈ 0.262364… Отже, зроблений наближення добре.

Список літератури

1. Флемінг, W., & Varberg, DE (1989). Математика дорахунку. Prentice Hall PTR.
2. Флемінг, W., & Varberg, DE (1989). Докалькульна математика: підхід до вирішення проблем (2, Ілюстрована редакція). Мічиган: Prentice Hall.
3. Флемінг, W., & Varberg, D. (1991). Алгебра та тригонометрія з аналітичною геометрією. Пірсон освіта.
4. Ларсон, Р. (2010). Попередній розрахунок (8 ред.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Плоска аналітична геометрія. Меріда - Венесуела: Редакція Венезолана Каліфорнія
6. Перес, CD (2006). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Обчислення (дев. Ред.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Диференціальне обчислення з ранніми трансцендентними функціями для науки та техніки (видання другого видання). Гіпотенуза.
9. Скотт, Каліфорнія (2009). Декартова плоска геометрія, частина: Аналітичні коніки (1907) (перевидання ред.). Джерело блискавки
10. Салліван, М. (1997). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.