КУРТОЗ: ВИЗНАЧЕННЯ, ТИПИ, ФОРМУЛИ, ДЛЯ ЧОГО ЦЕ, НАПРИКЛАД - ДУДИ - 2025

Ексцесу або Ексцес є статистичний параметр , який використовується для характеристики розподілу ймовірностей випадкової величини, що вказує на ступінь концентрації значень навколо центральної ступеня. Це також відоме як "піковий сорт".

Термін походить від грецького "kurtos", що означає арочний, тому куртоз позначає ступінь вказівки або сплющення розподілу, як видно на наступному малюнку:

Малюнок 1. Різні види куртозу. Джерело: Ф. Сапата.

Майже всі значення випадкової величини мають тенденцію до згущення навколо центрального значення, такого як середнє. Але в деяких розподілах значення більше розкидаються, ніж в інших, внаслідок чого криві більш плоскі або тонкі.

Визначення

Куртоз - це числове значення, характерне для кожного розподілу частоти, яке відповідно до концентрації значень навколо середнього класифікується на три групи:

- Лептокуртичний: у яких значення дуже кластеризовані навколо середнього, тому розподіл досить загострений і стрункий (рисунок 1, зліва).

- Мезокуртичний: він має помірну концентрацію значень навколо середнього (цифра 1 в центрі).

- Platicúrtica: цей розподіл має більш широку форму, оскільки значення мають тенденцію до більшого розсіювання (рисунок 1 справа).

Формули та рівняння

Куртоз може мати будь-яке значення, без обмежень. Його розрахунок проводиться залежно від способу передачі даних. Позначення, що використовуються в кожному випадку, наступні:

-Кефіцієнт куртозу: г ₂

-Арифметичне середнє: X або x зі штрихом

-В i-му значення: x _i

-Стандартне відхилення: σ

-Кількість даних: N

-Частота i-го значення: f _i

-Бренд класу: mx _i

За допомогою цього позначення ми представляємо кілька найбільш використовуваних формул для знаходження куртозу:

- Куртоз відповідно до поданих даних

Дані не згруповані або згруповані за частотами

Дані згруповані в інтервали

Зайвий куртоз

Також називається коефіцієнтом орієнтації Фішера або мірою Фішера, він використовується для порівняння досліджуваного розподілу з нормальним розподілом.

Коли надлишок куртозу дорівнює 0, ми знаходимось у нормальному розповсюдженні або дзвоні Гаусса. Таким чином, щоразу, коли обчислюється надлишок куртозу розподілу, ми фактично порівнюємо його з нормальним розподілом.

Як для негрупованих, так і для об'єднаних даних коефіцієнт вказівки Фішера, позначений K, становить:

K = g ₂ - 3

Тепер може бути показано, що куртоз нормального розподілу дорівнює 3, тому якщо коефіцієнт орієнтації Фішера дорівнює 0 або близький до 0 і є мезокуртичний розподіл. Якщо K> 0, то розподіл є лептокуртичним, а якщо K <0 - платикуртичним.

Що таке куртоз?

Куртоз - це міра мінливості, яка використовується для характеристики морфології розподілу. Таким чином можна порівняти симетричні розподіли з однаковим середнім і однаковою дисперсією (заданими стандартним відхиленням).

Визначення мінливості забезпечує те, що середні показники є надійними та допомагають контролювати коливання в розподілі. Як приклад, давайте розглянемо ці дві ситуації.

Зарплата 3 відділів

Припустимо, що наступний графік показує розподіл заробітної плати трьох відділів однієї компанії:

Малюнок 2. Три розподіли з різним куртозом ілюструють практичні ситуації. (Підготувала Фанні Сапата)

Крива A - найменша з усіх, і з її форми можна зробити висновок, що більша частина зарплат у цьому відділі дуже близька до середньої, тому більшість працівників отримують подібну компенсацію.

Зі свого боку, у відділі B крива заробітної плати відповідає нормальному розподілу, оскільки крива є мезокуртичною, в якій ми припускаємо, що заробітна плата розподілялася випадковим чином.

І нарешті, у нас крива С, яка дуже плоска, ознака того, що в цьому відділі діапазон зарплат значно ширший, ніж в інших.

Результати іспиту

Тепер припустимо, що три криві на рисунку 2 представляють результати іспиту, застосованого до трьох груп студентів одного предмета.

Група, рейтинги якої представлені кривою А лептокуртів, є досить однорідною, більшість отримала середню чи близьку оцінку.

Можливо також, що результат був обумовлений тестовими питаннями, що мали більш-менш однаковий ступінь складності.

З іншого боку, результати групи C вказують на більшу неоднорідність групи, яка, ймовірно, містить середніх студентів, дещо більш розвинених студентів і, безумовно, таких же менш уважних.

Або це може означати, що тестові питання мали дуже різну ступінь складності.

Крива В - мезокотична, свідчить про те, що результати тестування йшли за нормальним розподілом. Зазвичай це найчастіший випадок.

Працював приклад куртозу

Знайдіть коефіцієнт підрахунку Фішера для наступних класів, отриманий на іспиті з фізики для групи студентів, за шкалою від 1 до 10:

Рішення

Наступне вираження буде використано для негрупованих даних, наведених у попередніх розділах:

K = g ₂ - 3

Це значення дозволяє знати тип розподілу.

Для обчислення g ₂ зручно робити це впорядковано, поетапно, оскільки необхідно вирішити кілька арифметичних операцій.

Крок 1

Спочатку обчислюється середня оцінка. Є N = 11 даних.

Крок 2

Знайдено стандартне відхилення, для якого використовується це рівняння:

σ = 1.992

Або ви також можете побудувати таблицю, яка також необхідна для наступного кроку і в якій записується кожен додаток підсумків, починаючи з (x _i - X), потім (x _i - X) ² а потім (x _i - X) ⁴ :

Крок 3

Проведіть суму, зазначену в чисельнику формули для g ₂ . Для цього використовується результат правого стовпця попередньої таблиці:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Таким чином:

g ₂ = (1/11) x 290,15 / 1,992 ⁴ = 1,667

Коефіцієнт Фішера вказує:

K = g ₂ - 3 = 1,667 - 3 = -1,325

Цікавить знак результату, який, будучи негативним, відповідає платикуртному розподілу, який можна інтерпретувати так, як це було зроблено в попередньому прикладі: можливо, це неоднорідний курс зі студентами різного ступеня інтересу або екзаменаційні питання були різних рівнів складності.

Використання електронної таблиці, такої як Excel, значно полегшує вирішення таких типів проблем, а також пропонує можливість графічного розподілу.

Список літератури

1. Левін, Р. 1988. Статистика для адміністраторів. 2-й. Видання. Prentice Hall.
2. Марко, Ф. Куртоз. Відновлено з: Economipedia.com.
3. Оліва, Ж. Асиметрія та куртоз. Відновлено з: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Прийняття рішень в управлінні. Лімуса.
5. Вікіпедія. Куртоз. Відновлено з: en.wikipedia.org.