РОЗПОДІЛ ПУАССОНА: ФОРМУЛИ, РІВНЯННЯ, МОДЕЛЬ, ВЛАСТИВОСТІ - ДУДИ - 2025

Розподіл Пуассона - це дискретний розподіл ймовірностей, за допомогою якого можна дізнатися ймовірність того, що в межах великого розміру вибірки та протягом певного інтервалу відбудеться подія, ймовірність якої мала.

Часто час розподілу Пуассона можна використовувати замість біноміального розподілу, якщо дотримуються такі умови: велика вибірка та мала ймовірність.

Рисунок 1. Графік розподілу Пуассона для різних параметрів. Джерело: Wikimedia Commons.

Сімеон-Дені Пуассон (1781-1840) створив цей дистрибутив, який носить його ім'я, дуже корисний, коли мова йде про непередбачувані події. Пуассон опублікував свої результати в 1837 р., Розслідування щодо ймовірності виникнення помилкових кримінальних вироків.

Пізніше інші дослідники адаптували розподіл в інших районах, наприклад, кількість зірок, яку можна було знайти в певному просторі, або ймовірність того, що солдат загине від удару коня.

Формула та рівняння

Математична форма розподілу Пуассона така:

- μ (також іноді позначається як λ) - це середнє значення або параметр розподілу

- номер Ейлера: e = 2.71828

- Ймовірність отримання y = k дорівнює P

- k - кількість успіхів 0, 1,2,3 …

- n - кількість тестів або подій (розмір вибірки)

Дискретні випадкові величини, як випливає з їх назви, залежать від випадковості і приймають лише дискретні значення: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Середнє значення розподілу задається:

Варіант σ, який вимірює поширення даних, є ще одним важливим параметром. Для розподілу Пуассона це:

σ = μ

Пуассон визначив, що при n → ∞ і p → 0 середнє μ - також називане очікуваним значенням - прагне до постійної:

-Розглянуті події або події не залежать одна від одної і відбуваються випадковим чином.

-Імовірність P певної події, яка відбудеться протягом певного періоду часу, дуже мала: P → 0.

-Імовірність виникнення більше однієї події у часовому інтервалі дорівнює 0.

-Середнє значення наближає до постійної, заданої: μ = np (n - розмір вибірки)

-Коли дисперсія σ дорівнює μ, оскільки вона приймає більші значення, мінливість також стає більшою.

-Заходи повинні бути рівномірно розподілені у використаному часовому інтервалі.

-Набір можливих значень події y дорівнює: 0,1,2,3,4….

- Сума i змінних, що слідують за розподілом Пуассона, - це також інша змінна Пуассона. Його середнє значення - це сума середніх значень цих змінних.

Відмінності в розподілі біномів

Розподіл Пуассона відрізняється від біноміального розподілу наступними важливими способами:

-На біноміальне розподіл впливає і розмір вибірки n, і ймовірність P, але на розподіл Пуассона впливає лише середнє μ.

-У біноміальному розподілі можливі значення випадкової величини y дорівнюють 0,1,2, …, N, тоді як у розподілі Пуассона для цих значень немає верхньої межі.

Приклади

Поассон спочатку застосував своє відоме розповсюдження у судових справах, але на промисловому рівні одне з його найбільш ранніх застосувань було у заварюванні пива. У цьому процесі культури дріжджів використовують для бродіння.

Дріжджі складаються з живих клітин, популяція яких мінлива за часом. При виготовленні пива необхідно додати необхідну кількість, тому необхідно знати кількість клітин, які є на одиницю об’єму.

Під час Другої світової війни розповсюдження Пуассона використовувалося, щоб з’ясувати, чи німці насправді націлювались на Лондон із Кале, чи просто стріляли навмання. Це було важливо для союзників, щоб визначити, наскільки хороша технологія була доступна нацистам.

Практичні програми

Застосування розповсюдження Пуассона завжди стосуються підрахунків у часі або відліків у просторі. А оскільки ймовірність виникнення невелика, він також відомий як "закон рідкісних подій".

Ось перелік подій, які належать до однієї з таких категорій:

-Регістрація частинок при радіоактивному розпаді, який, як і ріст клітин дріжджів, є експоненціальною функцією.

-Кількість відвідувань певного веб-сайту.

-Приїзд людей на лінію для оплати або відвідування (теорія черг).

-Кількість автомобілів, які проходять певну точку дороги, протягом заданого проміжку часу.

Малюнок 2. Кількість автомобілів, які проходять через точку, приблизно відповідає розподілу Пуассона. Джерело: Pixabay.

-Мутації, які зазнали у певній ланцюзі ДНК після отримання впливу радіації.

-Кілька метеоритів діаметром більше 1 м випало за рік.

-Дефекти на квадратний метр тканини.

-Кількість клітин крові в 1 кубічному сантиметрі.

-Дзвони за хвилину на телефонну станцію.

-Шоколадна стружка, присутня в 1 кг тіста для торта.

-Кілька дерев, заражених певним паразитом, на 1 га лісу.

Зауважте, що ці випадкові величини відображають кількість разів, коли подія відбувається протягом визначеного періоду часу (дзвінки за хвилину на телефонну станцію) або заданий простір (дефекти тканини на квадратний метр).

Ці події, як уже встановлено, не залежать від часу, що минув з моменту останнього події.

Апроксимація біноміального розподілу з розподілом Пуассона

Розподіл Пуассона є хорошим наближенням до біноміального розподілу, якщо:

-Розмір зразка великий: n ≥ 100

-Імовірність р мала: p ≤ 0,1

- μ в порядку: np ≤ 10

У таких випадках розподіл Пуассона є прекрасним інструментом, оскільки біноміальний розподіл у цих випадках може бути важко застосувати.

Розв’язані вправи

Вправа 1

Сейсмологічне дослідження визначило, що протягом останніх 100 років по всьому світу сталося 93 великих землетруси, принаймні 6,0 за шкалою Ріхтера - голомарифмічні. Припустимо, що розподіл Пуассона в цій справі є відповідною моделлю. Знайти:

а) Середня кількість великих землетрусів на рік.

б) Якщо P (y) - вірогідність землетрусів, що трапляються протягом випадково вибраного року, знайдіть такі ймовірності:

Це зовсім менше, ніж Р (2).

Результати наведені нижче:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Наприклад, можна сказати, що існує 39,5% ймовірності того, що в даному році не відбудеться значного землетрусу. Або що в цьому році трапляється 5,29% з 3 великих землетрусів.

Рішення в)

в) Частоти аналізуються, помножуючи на n = 100 років:

39,5; 36,7; 17.1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 та 0,00471.

Наприклад:

- Частота 39,5 вказує на те, що за 39,5 з 100 років трапляється 0 великих землетрусів, ми можемо сказати, що це досить близько до фактичного результату 47 років без великих землетрусів.

Порівняємо ще один результат Пуассона з фактичними результатами:

- Отримане значення 36,7 означає, що в період 37 років стався 1 великий землетрус. Фактичний результат полягає в тому, що за 31 рік стався 1 великий землетрус, що добре відповідало моделі.

- 17,1 року очікується при 2 великих землетрусах, і відомо, що за 13 років, що є близькою цінністю, насправді було 2 великих землетрусу.

Тому модель Пуассона є прийнятною для цього випадку.

Вправа 2

Одна компанія оцінює, що кількість компонентів, які виходять з ладу до досягнення 100 годин роботи, слід розподілу Пуассона. Якщо середня кількість відмов у цей час становить 8, знайдіть такі ймовірності:

а) що компонент виходить з ладу за 25 годин.

б) Вихід з ладу менш ніж двох компонентів за 50 годин.

в) Принаймні три компоненти виходять з ладу за 125 годин.

Рішення для)

а) Відомо, що середнє значення відмов за 100 годин становить 8, тому за 25 годин очікується чверть відмов, тобто 2 відмови. Це буде параметр μ.

Ймовірність того, що 1 компонент виходить з ладу, випадковою змінною є "компоненти, які виходять з ладу до 25 годин", і його значення y = 1. Замінивши функцію ймовірності:

Однак питання полягає в ймовірності того, що менше 50 компонентів виходять з ладу за 50 годин, а не в тому, що точно 2 компоненти виходять з ладу за 50 годин, тому ми повинні додати ймовірності, що:

-Ніхто не виходить з ладу

- відмова лише 1

Параметр μ розподілу в цьому випадку:

μ = 8 + 2 = 10 відмов за 125 годин.

P (3 або більше компонентів виходять з ладу) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Список літератури

1. MathWorks. Розподіл Пуассона. Відновлено з: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Статистика для менеджменту та економіки. 3-й. видання. Grupo Редакція Iberoamérica.
3. Стат Трек. Навчіть себе статистику. Розподіл Пуассона. Відновлено з: stattrek.com,
4. Тріола, М. 2012. Елементарна статистика. 11-й. Освіта за ред. Пірсона.
5. Вікіпедія. Розподіл Пуассона. Відновлено з: en.wikipedia.org