ГІПЕРГЕОМЕТРИЧНИЙ РОЗПОДІЛ: ФОРМУЛИ, РІВНЯННЯ, МОДЕЛЬ - ДУДИ - 2025

Гіпергеометричний розподіл є дискретної статистичної функцією, підходить для обчислення ймовірності в рандомізованих експериментах з двома можливими результатами. Умовою, яку потрібно застосувати, є те, що це невеликі групи населення, в яких вилучення не замінюються і ймовірності не є постійними.

Тому, коли елемент сукупності обраний, щоб знати результат (істинний чи хибний) певної характеристики, той самий елемент не може бути обраний знову.

Малюнок 1. У такої популяції болтів, безумовно, є дефекти. Джерело: Pixabay.

Безумовно, наступний обраний елемент, таким чином, має більше шансів отримати справжній результат, якщо попередній елемент мав негативний результат. Це означає, що ймовірність змінюється, оскільки елементи витягуються з вибірки.

Основними сферами застосування гіпергеометричного розподілу є: контроль якості в процесах з малою кількістю населення та обчислення ймовірностей в ігрових ситуаціях.

Щодо математичної функції, що визначає гіпергеометричний розподіл, вона складається з трьох параметрів, які є:

- Кількість елементів популяції (N)

- розмір вибірки (м)

- Кількість подій у всій сукупності зі сприятливим (або несприятливим) результатом досліджуваної характеристики (n).

Формули та рівняння

Формула гіпергеометричного розподілу дає ймовірність Р, що трапляються х сприятливі випадки певної характеристики. Спосіб написати це математично на основі комбінаторних чисел:

У попередньому виразі N, n і m - параметри, а x - сама змінна.

- Загальна чисельність населення - Н.

-Кількість позитивних результатів певної бінарної характеристики щодо загальної сукупності становить n.

-Кількість елементів у зразку становить m.

У цьому випадку X - випадкова величина, яка приймає значення x, а P (x) вказує на ймовірність виникнення x сприятливих випадків досліджуваної характеристики.

Важливі статистичні змінні

Іншими статистичними змінними для гіпергеометричного розподілу є:

- середнє μ = m * n / N

- Варіант σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- Стандартне відхилення σ, яке є квадратним коренем дисперсії.

Модель та властивості

Щоб дійти до моделі гіпергеометричного розподілу, виходимо з ймовірності отримання х сприятливих випадків у вибірці розміром m. Цей зразок містить елементи, які відповідають властивості, що вивчається, та елементи, які не відповідають цим.

Нагадаємо, що n представляє кількість сприятливих випадків у загальній сукупності N елементів. Тоді ймовірність буде обчислюватися так:

Висловлюючи вищезазначене у вигляді комбінаторних чисел, досягається наступна модель розподілу ймовірностей:

Основні властивості гіпергеометричного розподілу

Вони такі:

- Вибірка завжди повинна бути невеликою, навіть якщо кількість населення велика.

- Елементи вибірки видобуваються по черзі, не включаючи їх назад до сукупності.

- Властивість, яку слід вивчати, є бінарною, тобто може приймати лише два значення: 1 або 0, або істинне, або хибне.

На кожному етапі вилучення елемента ймовірність змінюється залежно від попередніх результатів.

Апроксимація з використанням біноміального розподілу

Ще одна властивість гіпергеометричного розподілу полягає в тому, що воно може бути наближене до біноміального розподілу, позначеного Bi, до тих пір, поки популяція N велика і принаймні в 10 разів більша за зразок m. У цьому випадку це виглядатиме так:

Ймовірність того, що х = 3 гвинта у зразку є несправними: P (500, 5, 60, 3) = 0,0129.

Зі свого боку, ймовірність того, що x = 4 гвинта з шестидесяти зразка є несправними, становить: P (500, 5, 60; 4) = 0,0008.

Нарешті, ймовірність того, що х = 5 гвинтів у цьому зразку є несправними: P (500, 5, 60; 5) = 0.

Але якщо ви хочете дізнатись про ймовірність того, що в цьому зразку є більше 3 несправних гвинтів, вам доведеться отримати сукупну ймовірність, додавши:

Цей приклад проілюстрований на малюнку 2, отриманому за допомогою GeoGebra, вільного програмного забезпечення, яке широко використовується в школах, інститутах та університетах.

Малюнок 2. Приклад гіпергеометричного розподілу. Підготував Ф. Сапата з GeoGebra.

Приклад 2

В іспанській настильній колоді є 40 карт, з яких 10 мають золото, а решта 30 - ні. Припустимо, що 7 карт витягуються навмання з цієї колоди, які не перекомпортуються у колоду.

Якщо X - кількість золотих, присутніх на 7 намальованих картах, то ймовірність того, що у вас буде x золотих у розіграші 7 карт, задається гіпергеометричним розподілом P (40,10,7; x).

Подивимось так: для обчислення ймовірності наявності 4 золотих у розіграші 7 карт використовуємо формулу гіпергеометричного розподілу із наступними значеннями:

І результат такий: 4,57% ймовірність.

Але якщо ви хочете знати ймовірність отримати більше 4 карт, то вам доведеться додати:

Розв’язані вправи

Наступний набір вправ призначений для ілюстрації та засвоєння понять, які були представлені в цій статті. Важливо, щоб читач намагався їх вирішити самостійно, перш ніж дивитися на рішення.

Вправа 1

Фабрика презервативів виявила, що з кожних 1000 презервативів, вироблених певною машиною, 5 є несправними. Для контролю якості беруть випадково 100 презервативів, і партія відхиляється, якщо є хоча б один або кілька несправних. Відповідь:

а) Яка ймовірність того, що партія 100 буде відкинута?

б) Чи ефективний цей критерій контролю якості?

Рішення

У цьому випадку з’являться дуже великі комбінаторні числа. Розрахунок важкий, якщо у вас немає відповідного програмного пакету.

Але оскільки це велика популяція і вибірка вдесятеро менша, ніж загальна популяція, можна використовувати наближення гіпергеометричного розподілу біноміальним розподілом:

У наведеному вище виразі C (100, x) - комбінаторне число. Тоді ймовірність наявності декількох несправних буде обчислена так:

Це відмінне наближення, якщо порівнювати зі значенням, отриманим при застосуванні гіпергеометричного розподілу: 0,4102

Можна сказати, що з 40% -ною ймовірністю партію з 100 профілактичних засобів слід відмовитися, що не дуже ефективно.

Але, будучи трохи менш вимогливим до процесу контролю якості та відкидання партії 100 лише у випадку, якщо є два або більше дефектів, то ймовірність викидання партії впаде до всього 8%.

Вправа 2

Машина з пластикового блоку працює таким чином, що з кожні 10 штук виходить деформований. На вибірці з 5 штук, наскільки ймовірно, що лише одна штука є несправною?

Рішення

Населення: N = 10

Кількість n дефектів для кожного N: n = 1

Розмір вибірки: m = 5

Тому існує 50% ймовірність того, що в зразку 5 блок буде деформований.

Вправа 3

На зустрічі молодих випускників середньої школи присутні 7 дам та 6 джентльменів. Серед дівчат 4 навчальні гуманітарні науки та 3 науки. У хлопчачій групі 1 вивчення гуманітарних наук та 5 наук. Обчисліть наступне:

а) Вибір випадкових трьох дівчат: наскільки ймовірно, що всі вони вивчають гуманітарні науки?

б) Якщо трьох учасників зустрічі друзів обрано випадковим чином: Яка можливість, що троє з них, незалежно від статі, вивчають науку всіх трьох, або гуманітарні науки також усі троє?

c) Тепер виберіть двох друзів навмання і назвіть x випадкову змінну "кількість тих, хто вивчає гуманітарні науки". Між двома вибраними визначте середнє або очікуване значення x та дисперсію σ ^ 2.

Рішення для

Зараз використовуються такі значення:

-Населення: N = 14

-Кількість, яка вивчає букви, становить: n = 6 і

-Размір вибірки: m = 3.

-Кількість друзів, які вивчають гуманітарні науки: x

Відповідно до цього, x = 3 означає, що всі три вивчають гуманітарні науки, але x = 0 означає, що ніхто не вивчає гуманітарних наук. Ймовірність того, що всі троє навчаються однаково, задається сумою:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099

Тоді у нас є 21% ймовірність, що троє учасників зустрічей, вибраних навмання, вивчать одне і те ж.

Розв’язання c

Тут ми маємо такі значення:

N = 14 загальна кількість друзів, n = 6 загальна кількість населення, що вивчає гуманітарні науки, розмір вибірки m = 2.

Надія така:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572

І дисперсія:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * ( 14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / ( 13) = 0,4521

Список літератури

1. Дискретний розподіл ймовірностей. Відновлено з: biplot.usal.es
2. Статистика та ймовірність. Гіпергеометричний розподіл. Відновлено з: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. Гіпергеометричний розподіл. Відновлено з: ugr.es
4. Геогебра. Класична геогебра, імовірне обчислення. Відновлено з geogebra.org
5. Спробуйте легко. Вирішили проблеми гіпергеометричного розподілу. Відновлено: probafacil.com
6. Мінітаб. Гіпергеометричний розподіл. Відновлено з: support.minitab.com
7. Університет Віго. Основні дискретні розподіли. Відновлено з: anapg.webs.uvigo.es
8. Вітутор. Статистика та комбінаторика. Відновлено з: vitutor.net
9. Вайштайн, Ерік В. Гіпергеометричне розподіл. Відновлено з: mathworld.wolfram.com
10. Вікіпедія. Гіпергеометричний розподіл. Відновлено з: es.wikipedia.com