МАТЕМАТИЧНЕ ОЧІКУВАННЯ: ФОРМУЛА, ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВА - ДУДИ - 2025

Математичне сподівання або очікуване значення випадкової величини X, позначається як E (X) і визначається як сума продукту між ймовірності випадкової події , що відбувається і значення вказаної події.

У математичній формі він виражається так:

Малюнок 1. Математичне очікування широко використовується на фондовому ринку та в страхуванні. Джерело: Pixabay.

Де x _i - значення події, а P (x _i ) - її ймовірність настання. Підсумовування поширюється на всі значення, які допускає X. І якщо вони кінцеві, зазначена сума сходить до значення E (X), але якщо сума не збігається, то змінна просто не має очікуваного значення.

Коли це неперервна змінна x, змінна може мати нескінченні значення, а інтеграли замінюють підсумки:

Тут f (x) представляє функцію щільності ймовірності.

Взагалі математичне очікування (яке є середньозваженим) не дорівнює середньому арифметичному чи середньому, якщо ми не маємо справу з дискретними розподілами, в яких кожна подія однаково вірогідна. Потім, і лише тоді:

Де n - кількість можливих значень.

Ця концепція є дуже корисною на фінансових ринках та страхових компаніях, де впевненості часто відсутні, але ймовірності існують.

Властивості математичного очікування

Серед найважливіших властивостей математичного очікування виділяються наступні:

- Знак: якщо X позитивний, то E (X) також буде позитивним.

- Очікуване значення константи : очікуване значення реальної константи k - константа.

- Лінійність у сумі: очікування випадкової величини, яка в свою чергу є сумою двох змінних X і Y - це сума очікувань.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Множення на постійну : якщо випадкова величина має вигляд kX, де k - константа (дійсне число), вона виходить за межі очікуваного значення.

- Очікуване значення продукту та незалежність між змінними : якщо випадкова величина є добутком випадкових змінних X і Y, які є незалежними, то очікуване значення продукту - добуток очікуваних значень.

Загалом, якщо Y = g (X):

- Порядок очікуваного значення: якщо X ≤ Y, то:

Оскільки є очікувані значення кожного з них.

Математичне очікування в ставках

Коли відомий астроном Крістіан Гюйгенс (1629-1695) не спостерігав за небом, він присвятив себе вивченню, серед інших дисциплін, ймовірності в іграх на випадок. Саме він ввів поняття математичної надії у своїй роботі 1656 року під назвою: Розум про ігри на випадок.

Малюнок 2. Крістіан Гюйгенс (1629-1625) був геніальним і різнобічним вченим, якому ми зобов'язані концепцією очікуваної цінності.

Гюйгенс встановив, що ставки можна класифікувати трьома способами, виходячи з очікуваної вартості:

-Ігри з перевагою: E (X)> 0

- Справедливі ставки: E (X) = 0

-Вигода у невигідному стані: E (X) <0

Проблема полягає в тому, що в азартній грі математичне сподівання не завжди легко підрахувати. І коли ви можете, результат іноді розчаровує тих, хто цікавиться, чи варто робити ставку чи ні.

Спробуємо просту ставку: голови або хвости, і програв платить каву в 1 долар. Яка очікувана цінність цієї ставки?

Ну, ймовірність того, що голови будуть скочуватись ½, дорівнює хвостику. Випадкова величина - отримати $ 1 або втратити $ 1, посилення позначається знаком +, а втрата - знаком -.

Організовуємо інформацію в таблиці:

Помножимо значення стовпців: 1. ½ = ½ і (-1). ½ = -½ і, нарешті, результати додаються. Сума дорівнює 0, і це чесна гра, в якій учасники не повинні ні перемогти, ні програти.

Французька рулетка та лотерея - це ігри з гандикапами, в яких більшість ставок втрачає. Пізніше в розділі вирішених вправ є трохи складніша ставка.

Приклади

Ось декілька простих прикладів, коли поняття математичного очікування є інтуїтивним та уточнює поняття:

Приклад 1

Ми почнемо з прокатки чесного штампу. Яка очікувана цінність запуску? Добре, якщо штамп чесний і має 6 голів, ймовірність того, що будь-яке значення (X = 1, 2, 3… 6) згортається, дорівнює 1/6, приблизно так:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Малюнок 3. У рулоні чесного штампу очікуване значення не є можливим значенням. Джерело: Pixabay.

Очікуване значення в цьому випадку дорівнює середньому, оскільки кожне обличчя має однакову ймовірність виходу. Але E (X) не є можливим значенням, оскільки жодна голова не має значення 3,5. Це цілком можливо в деяких дистрибутивах, хоча в такому випадку результат не дуже допомагає заложнику.

Давайте розглянемо ще один приклад із викиданням двох монет.

Приклад 2

Дві чесні монети кидаються в повітря, і ми визначаємо випадкову змінну X як кількість голів, які згортаються. Події, які можуть статися, такі:

-Німає головок: 0 голів, що дорівнює 2 хвостикам.

-В ньому виходить 1 голова і 1 штамп або хвости.

-Дві обличчя виходять.

Нехай C - голова, а T - печатка, простий простір, який описує ці події, такий:

S _m = {Печать-Печатка; Печать-обличчя; Лицьова печатка; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Ймовірність подій, що відбуваються:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Таблиця побудована з отриманими значеннями:

Відповідно до визначення, даного на початку, математичне очікування обчислюється як:

Підміна значень:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Цей результат тлумачиться так: якщо у людини є достатньо часу, щоб зробити велику кількість експериментів, підкинувши дві монети, від нього очікується отримати голову від кожного жеребкування.

Однак ми знаємо, що випуски з 2 мітками цілком можливі.

Вправа вирішена

У жеребкуванні двох чесних монет робиться така ставка: якщо виходять 2 голови, ви виграєте 3 долари, якщо виходить 1 голова, ви виграєте 1 долар, але якщо виходять дві марки, вам доведеться заплатити 5 доларів. Обчисліть очікуваний виграш ставки.

Малюнок 4. Залежно від ставки, математичне очікування змінюється при підкиданні двох чесних монет. Джерело: Pixabay.

Рішення

Випадкова величина X - це значення, які гроші беруть у ставку, і ймовірності були обчислені в попередньому прикладі, тому таблиця ставки:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Оскільки очікуване значення дорівнює 0, це чесна гра, тому тут очікується, що ставки не виграють і не програють. Однак суми ставки можуть бути змінені, щоб зробити ставку грою з гандикапом або грою з гандикапом.

Список літератури

1. Brase, C. 2009. Зрозуміла статистика. Хафтон Міфлін.
2. Ольмедо, Ф. Вступ до поняття очікуваного значення або математичного очікування випадкової величини. Відновлено з: personal.us.es.
3. Статистика LibreTexts. Очікуване значення дискретних випадкових змінних. Відновлено з сайту: stats.libretexts.org.
4. Тріола, М. 2010. Елементарна статистика. 11-й. Ред. Аддісон Веслі.
5. Walpole, R. 2007. Імовірність та статистика для науки та техніки. 8-й. Видання. Пірсон освіта.