ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЯ: ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Логарифмічна функція є математичною зв'язок , яка пов'язує кожен позитивний дійсне число х з його логарифм у на базовій а. Це відношення відповідає вимогам бути функцією: кожен елемент x, що належить домену, має унікальне зображення.

Таким чином:

Оскільки логарифм на основі числа x є числом y, до якого необхідно підняти основу a, щоб отримати x.

-Логарифм основи завжди 1. Отже, графік f (x) = log _a x завжди перетинає вісь x у точці (1,0)

-Логарифмічна функція є трансцендентною і не може бути виражена поліномом або як коефіцієнт їх. Окрім логарифму, у цю групу входять, серед інших, тригонометричні функції та експоненціальність.

Приклади

Логарифмічну функцію можна встановити за різними основами, але найбільш вживаними є 10 і e, де e - число Ейлера, що дорівнює 2,71828….

Коли використовується основа 10, логарифм називається десятковим логарифмом, звичайним логарифмом, Бріггсом або просто простим логарифмом.

І якщо використовується число e, то його називають природним логарифмом, після Джона Нап'єра, шотландського математика, який відкрив логарифми.

Позначення, які використовуються для кожного, наступні:

-Дециальний логарифм: log ₁₀ x = log x

-Неперійський логарифм: ln x

Коли ви збираєтеся використовувати іншу базу, абсолютно необхідно вказати її як підпис, оскільки логарифм кожного числа відрізняється залежно від бази, яка буде використовуватися. Наприклад, якщо це логарифми в базі 2, напишіть:

y = log ₂ x

Давайте розглянемо логарифм числа 10 у трьох різних основах, щоб проілюструвати цей момент:

журнал 10 = 1

ln 10 = 2,30259

log ₂ 10 = 3.32193

Звичайні калькулятори приносять лише десяткові логарифми (функція журналу) та натуральний логарифм (функція ln). В Інтернеті є калькулятори з іншими базами. У будь-якому випадку читач може з його допомогою перевірити, чи задоволені попередні значення:

10 ¹ = 10

е ^2.3026 = 10.0001

2 ^3.32193 = ^10.0000

Невеликі десяткові різниці пояснюються кількістю десяткових знаків, взятих при обчисленні логарифму.

Переваги логарифмів

Серед переваг використання логарифмів - легкість, яку вони забезпечують для роботи з великою кількістю, використовуючи їх логарифм замість числа безпосередньо.

Це можливо тому, що функція логарифму зростає повільніше, коли числа збільшуються, як ми бачимо на графіку.

Тож навіть при дуже великій кількості їх логарифми значно менші, а маніпулювати невеликими числами завжди простіше.

Крім того, логарифми мають такі властивості:

- Продукт : log (ab) = log a + log b

- Коефіцієнт : log (a / b) = log a - log b

- Потужність : log a ^b = b.log a

І таким чином продукти та коефіцієнти стають доповненнями і віднімання меншої кількості, тоді як розширення можливостей стає простим продуктом, навіть якщо потужність велика.

Ось чому логарифми дозволяють виражати числа, які змінюються в дуже великих діапазонах значень, таких як інтенсивність звуку, pH розчину, яскравість зірок, електричний опір та інтенсивність землетрусів за шкалою Ріхтера.

Малюнок 2. Логарифми використовуються за шкалою Ріхтера для кількісної оцінки масштабів землетрусів. На зображенні показана зруйнована будівля в Консепсьйоні, Чилі, під час землетрусу 2010 р. Джерело: Вікімедія.

Давайте подивимось приклад обробки властивостей логарифмів:

Приклад

Знайдіть значення x у наступному виразі:

Відповісти

Ми маємо тут логарифмічне рівняння, оскільки невідоме є в аргументі логарифму. Він вирішується, залишаючи по одному логарифму на кожній стороні рівності.

Почнемо з розміщення всіх термінів, що містять "х" зліва від рівності, і тих, що містять лише числа праворуч:

log (5x + 1) - log (2x-1) = 1

Зліва ми маємо віднімання двох логарифмів, які можна записати як логарифм частки:

log = 1

Однак праворуч є число 1, яке ми можемо виразити як журнал 10, як ми бачили раніше. Так:

log = журнал 10

Щоб рівність була правдивою, аргументи логарифмів повинні бути рівними:

(5х + 1) / (2х-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x - 1)

5х + 1 = 20 х - 10

-15 х = -11

х = 11/15

Вправа на застосування: шкала Ріхтера

У 1957 р. В Мексиці стався землетрус, магнітуда якого становила 7,7 за шкалою Ріхтера. У 1960 році в Чилі стався черговий землетрус більшої міри 9,5.

Обчисліть, у скільки разів землетрус в Чилі був інтенсивнішим, ніж у Мексиці, знаючи, що магнітуда M _R за шкалою Ріхтера задається формулою:

M _R = журнал (10 ⁴ I)

Рішення

Величина за шкалою Ріхтера землетрусу - це логарифмічна функція. Ми збираємося обчислити інтенсивність кожного землетрусу, оскільки маємо величини Ріхтера. Давайте зробимо це покроково:

- Мексика : 7,7 = журнал (10 ⁴ I)

Оскільки обернена функція логарифму є експоненціальною, ми застосовуємо це до обох сторін рівності з наміром вирішити для I, що знаходимо в аргументі логарифму.

Оскільки вони є десятковими логарифмами, основа дорівнює 10. Потім:

10 ^7,7 = 10 ⁴ I

Інтенсивність землетрусу в Мексиці склала:

I _M = 10 ^7,7 / 10 ⁴ = 10 ^3,7

- Чилі : 9,5 = журнал (10 ⁴ I)

Ця ж процедура призводить нас до інтенсивності Чілійського землетрусу I _Ch :

I _Ch = 10 ^9,5 / 10 ⁴ = 10 ^5,5

Тепер ми можемо порівняти обидві інтенсивності:

I _Ch / I _M = 10 ^5,5 / 10 ^3,7 = 10 ^1,8 = 63,1

I _Ч = 63,1. Я _М

Землетрус в Чилі був приблизно в 63 рази інтенсивнішим, ніж у Мексиці. Оскільки величина логарифмічна, вона зростає повільніше, ніж інтенсивність, тому різниця в 1 величині означає в 10 разів більшу амплітуду сейсмічної хвилі.

Різниця між магнітудами обох землетрусів становить 1,8, тому можна очікувати різниці інтенсивності ближче до 100, ніж до 10, як це насправді сталося.

Насправді, якби різниця була рівно 2, чилійський землетрус був би в 100 разів інтенсивнішим, ніж мексиканський.

Список літератури

1. Карена, М. 2019. Доуніверситетський посібник з математики. Національний університет Літоралу.
2. Фігера, Ж. 2000. Математика 1-е. Різноманітний рік. Видання CO-BO
3. Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
4. Ларсон, Р. 2010. Розрахунок змінної. 9-й. Видання. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Математика для числення. 5-й. Видання. Cengage Learning.