ВЕКТОРНА АЛГЕБРА: ОСНОВИ, ВЕЛИЧИНИ, ВЕКТОРИ - МАТЕМАТИКА

Вектор алгебра є розділ математики , який вивчає системи лінійних рівнянь, вектори, матриці, векторних просторів і лінійних перетворень. Це пов'язано з такими сферами, як інженерія, вирішення диференціальних рівнянь, функціональний аналіз, дослідження операцій, комп'ютерна графіка, серед інших.

Інша область, яку прийняла лінійна алгебра, - фізика, оскільки завдяки цьому можна було розвинути вивчення фізичних явищ, описуючи їх за допомогою векторів. Це дало можливість краще зрозуміти Всесвіт.

Основи

Векторна алгебра виникла з вивчення кватерніонів (розширення реальних чисел) 1, i, j і k, а також з декартової геометрії, яку пропагували Гіббс і Хевісайд, які зрозуміли, що вектори будуть служити інструментом для представляють різні фізичні явища.

Векторна алгебра вивчається через три основи:

Геометрично

Вектори представлені лініями, що мають орієнтацію, а такі операції, як складання, віднімання та множення на дійсні числа, визначаються за допомогою геометричних методів.

Аналітично

Опис векторів та їх операцій робиться з числами, що називаються компонентами. Цей тип опису є результатом геометричного зображення, оскільки використовується система координат.

Аксіоматично

Складається опис векторів, незалежно від системи координат або будь-якого типу геометричного зображення.

Вивчення фігур у просторі здійснюється шляхом їх представлення в системі відліку, яка може бути в одному або декількох вимірах. Серед основних систем:

- одновимірна система, яка є прямою лінією, де одна точка (O) являє початок, а інша точка (P) визначає масштаб (довжину) та його напрямок:

- прямокутна система координат (двовимірна), яка складається з двох перпендикулярних прямих, що називаються віссю x та віссю y, які проходять через точку (O) початку; таким чином площина розділена на чотири області, які називаються квадрантами. У цьому випадку точку (Р) у площині задають відстані, що існують між осями та Р.

- Полярна система координат (двовимірна). У цьому випадку система складається з точки O (початок), яку називають полюсом, і променя з початком в O, що називається полярною віссю. У цьому випадку точка P площини, посилаючись на полюс і полярну вісь, задається кутом (Ɵ), який утворюється від відстані, що існує між початком і точкою P.

- прямокутна тривимірна система, утворена трьома перпендикулярними прямими (x, y, z), походженням яких є точка O у просторі. Утворено три координатні площини: xy, xz та yz; простір буде розділений на вісім областей, які називаються октантами. Орієнтир точки Р у просторі задається відстанями, які існують між площинами та Р.

Величини

Величина - це фізична величина, яку можна підрахувати або виміряти через числове значення, як у випадку деяких фізичних явищ; однак, багато разів доводиться вміти описувати ці явища іншими чинниками, ніж числовими. Ось чому величини класифікуються на два типи:

Скалярна величина

Це ті величини, які визначені та представлені чисельно; тобто модулем разом із одиницею вимірювання. Наприклад:

а) Час: 5 секунд.

б) Маса: 10 кг.

в) Об’єм: 40 мл.

г) температура: 40 ºC.

Векторна величина

Це ті величини, які визначаються і представлені модулем разом з одиницею, а також за сенсом і напрямком. Наприклад:

а) Швидкість: (5ȋ - 3ĵ) м / с.

б) прискорення: 13 м / с ² ; S 45º E.

в) сила: 280 Н, 120º.

г) Вага: -40 ĵ кг-ф.

Векторні величини графічно представлені векторами.

Що таке вектори?

Вектори - це графічні зображення векторної величини; тобто це відрізки ліній, у яких їх кінцевим кінцем є кінчик стрілки.

Вони визначаються його модулем або довжиною відрізка, його напрямок якого позначається кінчиком його стрілки та напрямом відповідно до лінії, до якої він належить. Походження вектора також відоме як точка застосування.

Елементи вектора такі:

Модуль

Це відстань від початку до кінця вектора, представлене реальним числом разом з одиницею. Наприклад:

-OM- = -A- = A = 6 див

Адреса

Це міра кута, що існує між віссю x (від позитивного) та вектором, а також використовуються кардинальні точки (північ, південь, схід і захід).

Сенс

Він задається стрілкою, розташованою в кінці вектора, із зазначенням куди йде.

Класифікація векторів

Як правило, вектори класифікуються як:

Фіксований вектор

Це той, чия точка застосування (походження) зафіксована; тобто він залишається пов'язаним з точкою в просторі, тому не може рухатися в ньому.

Безкоштовний векторний

Він може вільно пересуватися в просторі, оскільки його початок рухається до будь-якої точки, не змінюючи модуля, напрямку чи напрямку.

Повзунок вектор

Саме він може перенести своє походження по лінії своєї дії, не змінюючи модуля, напрямку чи напрямку.

Властивості векторів

Серед основних властивостей векторів можна виділити наступні:

Вектори teamlenses

Це ті вільні вектори, які мають однаковий модуль, напрямок (або вони паралельні) та сенс, як ковзний вектор або нерухомий вектор.

Еквівалентні вектори

Це відбувається, коли два вектори мають однаковий напрямок (або паралельний), однаковий сенс, і незважаючи на те, що мають різні модулі та точки застосування, вони викликають однакові ефекти.

Векторна рівність

Вони мають однаковий модуль, напрямок та сенс, навіть коли їхні вихідні точки різні, що дозволяє паралельному вектору переводити себе, не впливаючи на це.

Протилежні вектори

Це ті, що мають однаковий модуль і напрямок, але їх значення протилежне.

Одиничний вектор

Це той, у якому модуль дорівнює одиниці (1). Це отримується діленням вектора на його модуль і використовується для визначення напрямку та відчуття вектора, або в площині, або в просторі, використовуючи базові або нормалізовані одиничні вектори, які є:

Нульовий вектор

Це той, модуль якого дорівнює 0; тобто його точка виникнення і кінець збігаються в одній і тій же точці.

Компоненти вектора

Компоненти вектора - це значення проекцій вектора на осі системи відліку; Залежно від розкладання вектора, який може бути на двох або тривимірних осях, вийде відповідно дві або три складові.

Компоненти вектора - це дійсні числа, які можуть бути додатними, від’ємними або навіть нульовими (0).

Таким чином, якщо ми маємо вектор Ā, з початком у прямокутній системі координат у площині xy (двовимірний), проекція на вісь x Āx, а проекція на вісь y Āy. Таким чином, вектор буде виражений у вигляді суми його компонентів.

Приклади

Перший приклад

У нас є вектор Ā, який починається від початку, і даються координати його кінців. Таким чином, вектор Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) см.

Якщо вектор Ā діє на початок тривимірної трикутної системи координат (у просторі) x, y, z, до іншої точки (P), проекції на його осі будуть Āx, Āy та Āz; таким чином, вектор буде виражений у вигляді суми його трьох компонентних векторів.

Другий приклад

У нас є вектор Ā, який починається від початку, і даються координати його кінців. Таким чином, вектор Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) см.

Вектори, які мають свої прямокутні координати, можна виразити через їх базові вектори. Для цього кожну координату слід помножити лише на відповідний одиничний вектор таким чином, що для площини та простору вони будуть такими:

Для площини: Ā = A _x i + A _y j.

Для простору: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Векторні операції

Існує багато величин, які мають модуль, сенс і напрямок, такі як прискорення, швидкість, переміщення, сила.

Вони застосовуються в різних галузях науки, і для їх застосування необхідно в деяких випадках виконувати такі операції, як складання, віднімання, множення і ділення векторів і скалярів.

додавання і віднімання векторів

Додавання і віднімання векторів вважається однією алгебраїчною операцією, оскільки віднімання можна записати як суму; наприклад, віднімання векторів Ā і Ē можна виразити так:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Існують різні методи виконання додавання і віднімання векторів: вони можуть бути графічними або аналітичними.

Графічні методи

Використовується, коли вектор має модуль, напрямок та напрямок. Для цього малюються лінії, які утворюють фігуру, яка пізніше допоможе визначити результат. Серед найвідоміших:

Паралелограмний метод

Для складання або віднімання двох векторів на координатній осі вибирається спільна точка, яка буде представляти точку походження векторів-, зберігаючи її модуль, напрямок і напрямок.

Потім лінії проводяться паралельно векторам, щоб утворити паралелограм. Отриманий вектор - це діагональ, яка йде від точки початку обох векторів до вершини паралелограма:

Трикутний метод

У цьому способі вектори розміщуються один за одним, зберігаючи свої модулі, напрямки та напрямки. Отриманий вектор буде об'єднанням початку першого вектора з кінцем другого вектора:

Аналітичні методи

Два або більше векторів можна додати або відняти за допомогою геометричного або векторного методу:

Геометричний метод

Коли два вектори утворюють трикутник або паралелограм, m) .push ({});

- Скалярна властивість розподілу: якщо вектор помножити на суму двох скалярів, він дорівнює множенню вектора для кожного скаляра.

Множення векторів

Множення чи добуток векторів можна зробити як додавання чи віднімання, але таким чином він втрачає фізичний сенс і майже ніколи не зустрічається в додатках. З цієї причини найпоширенішими видами продукції є скалярний і векторний продукт.

Скалярний продукт

Він також відомий як крапковий добуток двох векторів. Коли модулі двох векторів множать на косинус найменшого кута, утвореного між ними, виходить скаляр. Для вираження скалярного добутку між двома векторами між ними ставиться крапка, і це можна визначити як:

Значення кута, що існує між двома векторами, буде залежати від того, паралельні вони або перпендикулярні; таким чином, ви повинні:

- Якщо вектори паралельні і мають однаковий сенс, косинус 0º = 1.

- Якщо вектори паралельні і мають протилежні напрямки, косинус 180º = -1.

- Якщо вектори перпендикулярні, косинус 90º = 0.

Цей кут можна також обчислити, знаючи, що:

Точковий виріб має такі властивості:

- Комутативна властивість: порядок векторів не змінює скаляр.

-Властивість розподілу: якщо скаляр помножити на суму двох векторів, він дорівнює множенню скаляра для кожного вектора.

Векторний продукт

Векторне множення або поперечний добуток двох векторів A і B призведе до нового вектора C і виражається за допомогою перехрестя між векторами:

Новий вектор матиме свої особливості. Цей шлях:

- Напрям: цей новий вектор буде перпендикулярний площині, яка визначається вихідними векторами.

- Напрям: це визначається правилом правої руки, де вектор А повернутий у бік В, що вказує напрямок обертання пальцями, а напрямок вектора відзначається великим пальцем.

- Модуль: визначається множенням модулів векторів AxB на синус найменшого кута, який існує між цими векторами. Він виражається:

Значення кута, що існує між двома векторами, буде залежати від того, паралельні вони або перпендикулярні. Отже, можна констатувати наступне:

- Якщо вектори паралельні і мають однаковий сенс, синус 0º = 0.

- Якщо вектори паралельні і мають протилежні напрямки, синус 180º = 0.

- Якщо вектори перпендикулярні, то синус 90º = 1.

Коли векторний добуток виражається через його базові вектори, ми маємо: