КОМПЛЕМЕНТАРНІ КУТИ: ЯКІ З НИХ І ЯК ВОНИ ОБЧИСЛЮЮТЬСЯ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Два або більше кутів є взаємодоповнюючими кутами, якщо сума їх заходів відповідає сумі прямого кута. Як відомо, міра прямого кута в градусах дорівнює 90º, а в радіанах - π / 2.

Наприклад, два кути, прилеглі до гіпотенузи прямого трикутника, є взаємодоповнюючими один одного, оскільки сума їх заходів становить 90º. Наступний малюнок є дуже показовим у цьому плані:

Малюнок 1. Зліва кілька кутів із загальною вершиною. Праворуч - кут 60º, який доповнює кут α (альфа). Джерело: Ф. Сапата.

Всього чотири кути показані на малюнку 1. α і β є взаємодоповнюючими, оскільки вони суміжні, а їх сума завершує прямий кут. Аналогічно β доповнює γ, звідки випливає, що γ і α мають рівну міру.

Тепер, оскільки сума α і δ дорівнює 90 градусам, можна констатувати, що α і δ є взаємодоповнюючими. Крім того, оскільки β і δ мають однакові комплементарні α, можна сказати, що β і δ мають однакову міру.

Приклади додаткових кутів

Наступні приклади пропонують знайти невідомі кути, позначені знаками запитання на рисунку 2.

Малюнок 2. Різні приклади взаємодоповнюючих кутів. Джерело: Ф. Сапата.

- Приклади A, B і C

Наступні приклади є в порядку складності.

Приклад А

На малюнку вище маємо, що суміжні кути α і 40º складають під прямим кутом. Тобто α + 40º = 90º, тому α = 90º- 40º = 50º.

Приклад В

Оскільки β доповнює кут 35º, то β = 90º - 35º = 55º.

Приклад С

З рисунка 2С маємо, що сума γ + 15º + 15º = 90º. Іншими словами, γ доповнює кут 30º = 15º + 15º. Так що:

γ = 90º- 30º = 60º

- Приклади D, E і F

У цих прикладах задіяно більше кутів. Щоб знайти невідомі, читач повинен застосувати поняття додаткового кута стільки разів, скільки потрібно.

Приклад D

Оскільки X доповнює 72º, то випливає, що X = 90º - 72º = 18º. Крім того, Y доповнює X, тому Y = 90º - 18º = 72º.

Нарешті Z доповнює Y. З усього вищевикладеного випливає, що:

Z = 90º - 72º = 18º

Приклад Е

Кути δ і 2δ є взаємодоповнюючими, тому δ + 2δ = 90º.

Тобто 3δ = 90º, з чого випливає, що δ = 90º / 3 = 30º.

Приклад F

Якщо ми називаємо кут між que і 10º U, то U є доповнюючим обох, оскільки спостерігається, що їх сума завершує прямий кут. З чого випливає, що U = 80º. Оскільки U доповнює ω, то ω = 10º.

Вправи

Нижче запропоновано три вправи. В усіх них слід знайти значення кутів A і B у градусах, щоб виконані відносини, показані на рисунку 3.

Малюнок 3. Ілюстрації для додаткових вправ на кут. Джерело: Ф. Сапата.

- Вправа 1

Визначте значення кутів A і B з частини I) малюнка 3.

Рішення

З наведеного малюнка видно, що A і B є взаємодоповнюючими, тому A + B = 90º. Підставляємо вираз для A і B як функції x, наведені в частині I):

(х / 2 + 7) + (2х + 15) = 90

Потім терміни групуються відповідним чином і отримується просте лінійне рівняння:

(5х / 2) + 22 = 90

Віднімаючи 22 в обох членах, ми маємо:

5х / 2 = 90 -22 = 68

І нарешті значення x очищається:

х = 2 * 68/5 = 136/5

Тепер кут A знаходимо, замінюючи значення X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20.6 º.

Тоді як кут B дорівнює:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5 = 69,4º.

- Вправа 2

Знайдіть значення кутів A і B зображення II, рисунок 3.

Рішення

Знову ж таки, оскільки A і B є взаємодоповнюючими кутами, то випливає, що: A + B = 90º. Підставляючи вирази для A і B як функції x, наведені у частині II) рисунка 3, маємо:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Подібні терміни згруповані разом для отримання рівняння:

6 х + 30 = 90

Поділивши обох членів на 6, ви отримаєте:

х + 5 = 15

З чого випливає, що x = 10º.

Таким чином:

А = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Вправа 3

Визначте значення кутів A і B з частини III) малюнка 3.

Рішення

Знову фігура ретельно аналізується, щоб знайти комплементарні кути. У цьому випадку ми маємо, що A + B = 90 градусів. Підставляючи вирази для A і B як функції x, наведених на рисунку, маємо:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 х + 30 = 90

Поділ обох членів на 3 результати в наступному:

х + 10 = 30

З чого випливає, що x = 20º.

Іншими словами, кут A = -20 +45 = 25º. І зі свого боку: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Перпендикулярні бічні кути

Кажуть, що два кути мають перпендикулярні сторони, якщо кожна сторона має відповідний перпендикуляр на іншій. Наведена нижче фігура пояснює поняття:

Малюнок 4. Кути перпендикулярних сторін. Джерело: Ф. Сапата.

На малюнку 4, наприклад, спостерігаються кути α і θ. Тепер зауважте, що кожен кут має відповідний перпендикуляр під іншим кутом.

Також видно, що α і θ мають однаковий взаємодоповнюючий кут z, тому спостерігач негайно робить висновок, що α і θ мають однакову міру. Тоді здається, що якщо два кути мають сторони, перпендикулярні один одному, вони рівні, але давайте подивимось на інший випадок.

Тепер розглянемо кути α і ω. Ці два кути також мають відповідні перпендикулярні сторони, однак їх не можна вважати однаковими, оскільки один гострий, а другий тупий.

Зауважимо, що ω + θ = 180º. Крім того θ = α. Якщо ви заміните цей вираз на z в першому рівнянні, ви отримаєте:

δ + α = 180º, де δ і α взаємно перпендикулярні кути сторін.

Загальне правило для кутів перпендикулярних сторін

1. Бальдор, JA 1973. Геометрія площини і простору. Центральноамериканська культурна.
2. Математичні закони та формули. Системи вимірювання кутів. Відновлено з: ingemecanica.com.
3. Вентворт, Г. Плоска геометрія. Відновлено з: gutenberg.org.
4. Вікіпедія. Комплементарні кути. Відновлено з: es.wikipedia.com
5. Вікіпедія. Конвеєр. Відновлено з: es.wikipedia.com
6. Сапата Ф. Гоніометро: історія, частини, операція. Відновлено з: lifeder.com