ТРИКУТНИК МАСШТАБУ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ФОРМУЛА ТА ПЛОЩІ, ОБЧИСЛЕННЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Нерівносторонні трикутник є багатокутник з трьох сторін, всі з яких мають різні заходи або довжину; з цієї причини йому дано назву шкала, що з латині означає сходження.

Трикутники - це багатокутники, які вважаються найпростішими в геометрії, оскільки вони складаються з трьох сторін, трьох кутів і трьох вершин. У випадку масштабного трикутника, маючи всі сторони різні, це означає, що його три кути будуть теж.

Характеристика масштабних трикутників

Скаленові трикутники - прості багатокутники, оскільки жодна їх сторона чи кут не мають однакової міри, на відміну від рівнобедрених та рівносторонніх трикутників.

Оскільки всі їхні сторони та кути мають різні міри, ці трикутники вважаються неправильними опуклими багатокутниками.

Виходячи з амплітуди внутрішніх кутів, масштабні трикутники класифікуються як:

• Правий трикутник масштабу : всі сторони різні. Один з його кутів правильний (90 ^або ), а інші - різкі та з різними заходами.
• Тупий масштабний трикутник : всі сторони різні, і один з його кутів тупий (> 90 ^або ).
• Гострий трикутник масштабу : всі сторони різні. Усі кути є гострими (<90 ^або ) з різними заходами.

Ще одна характеристика масштабних трикутників полягає в тому, що через невідповідність їх сторін і кутів у них немає осі симетрії.

Компоненти

Медіана : це лінія, яка починається від середини однієї сторони і доходить до протилежної вершини. Три медіани збираються в точці, званій барицентром або центроїдом.

Бісектриса : це промінь, який ділить кожен кут на два кути однакової міри. Бісектриси трикутника зустрічаються в точці, що називається стимулювачем.

Бісектриса : це відрізок, перпендикулярний стороні трикутника, який має своє початок посередині. У трикутнику є три бісектриси, і вони зустрічаються в точці, що називається навколоцентром.

Висота : це лінія, яка йде від вершини до сторони, яка є протилежною, а також ця лінія перпендикулярна цій стороні. Усі трикутники мають три висоти, які збігаються в точці, що називається ортоцентром.

Властивості

Скаленові трикутники визначаються або ототожнюються, оскільки вони мають кілька властивостей, які їх представляють, виходячи з теорем, запропонованих великими математиками. Вони є:

Внутрішні кути

Сума внутрішніх кутів завжди дорівнює 180 ^° .

Сума сторін

Сума заходів двох сторін завжди повинна бути більшою, ніж міра третьої сторони, a + b> c.

Несумісні сторони

Усі сторони масштабних трикутників мають різну міру або довжину; тобто вони несумісні.

Несуцільні кути

Оскільки всі сторони масштабного трикутника різні, його кути будуть теж. Однак сума внутрішніх кутів завжди буде дорівнює 180º, а в деяких випадках один з його кутів може бути тупим або правильним, а в інших всі його кути будуть гострими.

Висота, медіана, бісектриса та бісектриса не збігаються

Як і будь-який трикутник, у шкалі є різні сегменти ліній, які складають її, такі як: висота, медіана, бісектриса та бісектриса.

Через особливості його сторін, у цьому типі трикутника жодна з цих прямих не збігатиметься в одній.

Ортоцентр, барицентр, стимулювач та циркуляр не збігаються

Оскільки висота, медіана, бісектриса та бісектриса представлені різними відрізками ліній, у масштабному трикутнику точки зустрічі - ортоцентр, стимулювач та окружність - будуть знаходитись у різних точках (вони не збігаються).

Залежно від того, трикутник гострий, правильний чи масштабний, ортоцентр має різні місця:

до. Якщо трикутник гострий, ортоцентр буде знаходитися всередині трикутника.

б. Якщо трикутник правильний, ортоцентр буде збігатися з вершиною правої сторони.

c. Якщо трикутник тупий, ортоцентр буде на зовнішній стороні трикутника.

Відносні висоти

Висоти відносно сторін.

У випадку масштабного трикутника ці висоти матимуть різні виміри. Кожен трикутник має три відносні висоти і для їх обчислення використовується формула Герона.

Як обчислити периметр?

Периметр многокутника обчислюється додаванням сторін.

Оскільки в цьому випадку масштабний трикутник має всі сторони з різними мірами, його периметр буде:

P = сторона a + сторона b + сторона c.

Як розрахувати площу?

Площа трикутників завжди обчислюється за однаковою формулою, помноживши висоту базових разів і діливши на два:

Площа = (база _* год) ÷ 2

У деяких випадках висота масштабного трикутника не відома, але існує формула, запропонована математиком Ероном, для обчислення площі, знаючи міру трьох сторін трикутника.

Де:

• a, b і c, представляють сторони трикутника.
• sp, відповідає півперметру трикутника, тобто половині периметра:

sp = (a + b + c) ÷ 2

У тому випадку, якщо у вас є лише міра двох сторін трикутника та кута, утвореного між ними, площа можна обчислити, застосувавши тригонометричні співвідношення. Отже, ви повинні:

Площа = (сторона _* год) ÷ 2

Де висота (h) - добуток однієї сторони, а синус протилежного кута. Наприклад, для кожної сторони площа буде:

• Площа = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Площа = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Площа = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Як обчислити висоту?

Оскільки всі сторони масштабного трикутника різні, неможливо обчислити висоту за допомогою теореми Піфагора.

З формули Герона, яка ґрунтується на вимірах трьох сторін трикутника, можна обчислити площу.

Висоту можна очистити із загальної формули місцевості:

Сторона замінюється мірою сторони a, b або c.

Інший спосіб обчислити висоту, коли значення одного з кутів відоме, - це застосувати тригонометричні співвідношення, де висота буде представляти собою ногу трикутника.

Наприклад, коли кут, протилежний висоті, відомий, він визначається синусом:

Як обчислити сторони?

Коли ви маєте міру двох сторін і кута, протилежного їм, можна визначити третю сторону, застосувавши теорему косинусів.

Наприклад, у трикутнику AB намічено висоту відносно відрізка AC. Таким чином трикутник ділиться на два праві трикутники.

Для обчислення сторони c (відрізок AB) застосуйте теорему Піфагора для кожного трикутника:

• Для синього трикутника маємо:

c ² = h ² + m ²

Оскільки m = b - n, то підставляємо:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² .

• Для рожевого трикутника ви повинні:

h ² = a ² - n ²

Він заміщений у попередньому рівнянні:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Знаючи, що n = a _* cos C, воно заміщене в попередньому рівнянні і отримується значення сторони c:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Законом Косинусів сторони можна обчислити так:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Бувають випадки, коли міри сторін трикутника не відомі, а швидше їх висота та кути, утворені у вершинах. Для визначення площі в цих випадках необхідно застосувати тригонометричні співвідношення.

Знаючи кут однієї з його вершин, ідентифікуються ніжки і використовується відповідне тригонометричне відношення:

Наприклад, ніжка АВ буде протилежною куту С, але примикає до кута А. Залежно від сторони або ноги, що відповідає висоті, інша сторона очищається, щоб отримати значення цього.

Вправи

Перша вправа

Обчисліть площу та висоту масштабного трикутника ABC, знаючи, що його сторони:

a = 8 див.

b = 12 див.

c = 16 див.

Рішення

В якості даних наведено вимірювання трьох сторін масштабного трикутника.

Оскільки значення висоти недоступне, площу можна визначити, застосовуючи формулу Герона.

Спочатку обчислюється напівперметр:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 см + 12 см + 16 см) ÷ 2

sp = 36 см ÷ 2

sp = 18 див.

Тепер значення заміщені у формулі Герона:

Знаючи площу, висоту відносно сторони b можна обчислити. З загальної формули, очистивши її, ми маємо:

Площа = (сторона _* год) ÷ 2

46, 47 см ² = (12 см _* год) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 см ² ) ÷ 12 див

h = 92,94 см ² ÷ 12 див

h = 7,75 див.

Друга вправа

Дано масштабний трикутник ABC, заходами якого є:

• Відрізок АВ = 25 м.
• Відрізок BC = 15 м.

У вершині В утворюється кут 50º. Обчисліть висоту відносно сторони c, периметра та площі цього трикутника.

Рішення

У цьому випадку ми маємо вимірювання двох сторін. Для визначення висоти необхідно обчислити вимірювання третьої сторони.

Оскільки заданий кут, протилежний даним сторонам, для визначення міри сторони AC (b) можна застосувати закон косинусів:

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Де:

a = BC = 15 м.

c = AB = 25 м.

b = AC.

B = 50 ^o .

Дані замінюються:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367,985

b = 67367,985

b = 19,18 м.

Оскільки у нас вже є значення трьох сторін, обчислюється периметр цього трикутника:

P = сторона a + сторона b + сторона c

Р = 15 м + 25 м + 19, 18 м

Р = 59,18 м

Тепер можна визначити площу, застосувавши формулу Герона, але спочатку треба розрахувати напівперметр:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 м ÷ 2

sp = 29,59 м.

Виміри сторін і півперіметра заміщені у формулі Герона:

Нарешті знаючи площу, висоту відносно сторони c можна обчислити. З загальної формули, очищаючи її, ви повинні:

Площа = (сторона _* год) ÷ 2

143,63 м ² = (25 м _* год) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 м ² ) ÷ 25 м

h = 287,3 м ² ÷ 25 м

h = 11,5 м.

Третя вправа

У масштабному трикутнику ABC сторона b дорівнює 40 см, сторона c дорівнює 22 см, а на вершині A утворюється кут 90 ^або . Обчисліть площу цього трикутника.

Рішення

У цьому випадку наводяться міри двох сторін масштабного трикутника ABC, а також кут, який утворюється у вершині A.

Для визначення площі не потрібно обчислювати міру сторони а, оскільки через тригонометричні співвідношення кут використовується для її знаходження.

Оскільки кут, протилежний висоті, відомий, він визначатиметься добутком однієї сторони та синусом кута.

Підставляючи формулу області, ми маємо:

• Площа = (сторона _* год) ÷ 2
• h = c _* sin A

Площа = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Площа = (40 см _* 22 см _* sin 90) ÷ 2

Площа = (40 см _* 22 см _* 1) ÷ 2

Площа = 880 см ² ÷ 2

Площа = 440 см ² .

Список літератури

1. Альваро Рендон, А.Р. (2004). Технічний малюнок: зошит про діяльність.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Геометрії. CR технологія,.
3. Angel, AR (2007). Елементарна алгебра. Pearson Education,.
4. Бальдор, А. (1941). Алгебра. Гавана: Культура.
5. Барбоса, Дж. Л. (2006). Плоска евклідова геометрія. Ріо-де-Жанейро,.
6. Coxeter, H. (1971). Основи геометрії. Мексика: Лімуса-Вілі.
7. Даніель К. Олександр, GM (2014). Елементарна геометрія для студентів коледжу. Cengage Learning.
8. Гарпе, П. д. (2000). Теми з геометричної теорії груп. Університет Чикаго Прес.