ШЕСТИКУТНА ПІРАМІДА: ВИЗНАЧЕННЯ, ХАРАКТЕРИСТИКИ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Шестикутна піраміда являє собою багатогранник , утворений шестикутник, який є базою, і шість трикутників , які починаються від вершини шестикутника і перетинаються в точці поза площиною, що містить підставу. Ця точка одночасності відома як вершина або вершина піраміди.

Багатогранник - це замкнене тривимірне геометричне тіло, грані якого - плоскі фігури. Шестикутник - це закрита плоска фігура (багатокутник), складена з шести сторін. Якщо всі шість сторін однакової довжини і утворюють рівні кути, кажуть, що вони регулярні; інакше це нерегулярно.

Визначення

Шестикутна піраміда містить сім граней, основу та шість бічних трикутників, з яких основа є єдиною, яка не торкається вершини.

Кажуть, що піраміда є прямою, якщо всі бічні трикутники рівнобедрені. У цьому випадку висота піраміди - це відрізок, який йде від вершини до центру шестикутника.

Взагалі висота піраміди - це відстань між вершиною та площиною основи. Кажуть, що піраміда є косою, якщо не всі бічні трикутники - рівнобедрені.

Якщо шестикутник правильний, а піраміда також пряма, то кажуть, що це звичайна шестикутна піраміда. Аналогічно, якщо шестикутник нерегулярний або піраміда косою, кажуть, що це неправильна шестикутна піраміда.

характеристики

Увігнуті або опуклі

Багатокутник опуклий, якщо міра всіх внутрішніх кутів менше 180 градусів. Геометрично це еквівалентно тому, що, враховуючи пару точок всередині многокутника, відрізок лінії, що їх з'єднує, міститься в полігоні. Інакше багатокутник, як кажуть, увігнутий.

Якщо шестикутник опуклий, кажуть, що піраміда є опуклою шестикутною пірамідою. Інакше буде сказано, що це увігнута шестикутна піраміда.

Краї

Краї піраміди - це сторони шести трикутників, які складають її.

Апотема

Апотемою піраміди є відстань між вершиною та сторонами основи піраміди. Це визначення має сенс лише тоді, коли піраміда є регулярною, тому що якщо вона нерегулярна, ця відстань змінюється залежно від розглянутого трикутника.

Навпаки, у звичайних пірамідах апотема буде відповідати висоті кожного трикутника (оскільки кожна рівнобедрена), і вона буде однаковою для всіх трикутників.

Апотемою основи є відстань між однією із сторін основи та її центром. З того, як це визначено, апотема основи також має сенс лише у звичайних пірамідах.

Позначення

Висоту шестикутної піраміди будемо позначати h , апотему основи (у звичайному випадку) APb та апотему піраміди (також у звичайному випадку) AP .

Характерною для правильних шестикутних пірамід є те, що h , APb і AP утворюють правильний трикутник з гіпотенузою AP і ніжками h і APb . За теоремою Піфагора маємо, що AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Зображення вище являє собою звичайну піраміду.

Як розрахувати площу? Формули

Розглянемо звичайну шестикутну піраміду. Нехай А - міра кожної сторони шестикутника. Тоді A відповідає мірі основи кожного трикутника піраміди і, отже, країв основи.

Площа багатокутника - добуток периметра (сума сторін) і апотема основи, розділеної на два. У разі шестикутника це було б 3 * A * APb.

Видно, що площа правильної шестикутної піраміди дорівнює шестикратній площі кожного трикутника піраміди плюс площі основи. Як було сказано раніше, висота кожного трикутника відповідає апотемі піраміди, AP.

Тому площа кожного трикутника в піраміді задається A * AP / 2. Таким чином, площа правильної шестикутної піраміди дорівнює 3 * A * (APb + AP), де A - край основи, APb - апотема основи, а AP - апотема піраміди.

Розрахунок у неправильних шестикутних пірамідах

У випадку неправильної шестикутної піраміди немає прямої формули для обчислення площі, як у попередньому випадку. Це тому, що кожен трикутник у піраміді матиме різну площу.

У цьому випадку площа кожного трикутника повинна бути розрахована окремо і площа основи. Тоді площа піраміди буде сумою всіх обчислених раніше площ.

Як розрахувати обсяг? Формули

Об'єм піраміди правильної шестикутної форми є добутком висоти піраміди та площі основи, поділеної на три. Таким чином, об'єм правильної шестикутної піраміди задається A * APb * h, де A - край основи, APb - апотема основи, h - висота піраміди.

Розрахунок у неправильних шестикутних пірамідах

Аналогічно площі, у випадку неправильної шестикутної піраміди немає прямої формули для обчислення об’єму, оскільки краї основи не мають однакового вимірювання, оскільки це неправильний багатокутник.

У цьому випадку площа основи повинна бути розрахована окремо і об'єм буде (h * Площа основи) / 3.

Приклад

Знайдіть площу та об’єм правильної шестикутної піраміди висотою 3 см, основою якої є правильний шестикутник по 2 см з кожного боку, а апотема основи - 4 див.

Рішення

По-перше, слід обчислити апотему піраміди (AP), що є єдиними відсутніми даними. Подивившись на зображення вище, видно, що висота піраміди (3 см) та апотема основи (4 см) утворюють правильний трикутник; Тому для обчислення апотеми піраміди використовується теорема Піфагора:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Таким чином, з формули, написаної вище, випливає, що площа дорівнює 3 * 2 * (4 + 5) = 54 см ^ 2.

З іншого боку, за допомогою формули об'єму виходить, що об'єм даної піраміди дорівнює 2 * 4 * 3 = 24 см ^ 3.

Список літератури

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Математика: підхід до вирішення проблем для вчителів початкової освіти. Лопес Матеос Редактори.
2. Fregoso, RS, & Carrera, SA (2005). Математика 3. Редакційний прогрес.
3. Gallardo, G., & Pilar, PM (2005). Математика 6. Редакційний прогрес.
4. Гутьеррес, КТ та Циснерос, народний депутат (2005). 3-й курс математики. Редакція Progreso.
5. Kinsey, L., & Moore, TE (2006). Симетрія, форма та простір: вступ до математики через геометрію (ілюстрація, передрук ред.). Springer Science & Business Media.
6. Мітчелл, C. (1999). Запаморочливі математичні лінії (Ілюстрований ред.). Scholastic Inc.
7. Р., МП (2005). Малюю 6-ту. Редакція Progreso.