СПІВВІДНОШЕННЯ ПУАССОНА: КОЕФІЦІЄНТ, ФОРМУЛИ, ЗНАЧЕННЯ, ПРИКЛАДИ - ФІЗИЧНІ - 2025

Співвідношення Пуассона - це безрозмірна величина, характерна для кожного матеріалу. Це вказівка ​​на деформацію шматка матеріалу до прикладання певних сил.

Коли шматок матеріалу, який піддається натягу, або стисненню, зазнає деформації, коефіцієнт між поперечною деформацією та поздовжньою деформацією є саме співвідношенням Пуассона.

Малюнок 1. Співвідношення Пуассона вимірює взаємозв'язок між поздовжнім розтягуванням і поперечним звуженням. (Підготував Рікардо Перес)

Наприклад, гумовий циліндр, який піддається натягу на кінцях, розтягується в поздовжньому напрямку, але звужується поперечно. На малюнку 1 показана планка, вихідні розміри якої: довжина L і діаметр D.

Стрічка піддається натягу T на своїх кінцях, і як наслідок цього натягу вона зазнає розтягування, так що нова довжина L '> L. Але коли вона розтягується, її діаметр також звужується до нової величини: D '<D.

Коефіцієнт між розтягуванням (позитивним) і звуженням (негативним), помноженим на (-1), є додатним числом між 0 і 0,5. Це число - так зване відношення Пуассона ν (грецька літера nu).

Формула коефіцієнта Пуассона

Для обчислення коефіцієнта Пуассона необхідно визначити поздовжній і поперечний деформації.

Поздовжній штам ε _L - розтяг, розділений на початкову довжину:

ε _L = (L '- L) / L

Аналогічно, поперечна деформація ε _T - радіальне звуження, поділене на вихідний діаметр:

ε _T = (D '- D) / D

Тому коефіцієнт Пуассона обчислюється за такою формулою:

ν = - ε _T / ε _L

Зв'язок з модулем пружності та модулем жорсткості

Відношення Пуассона ν пов'язане з модулем Е пружності (або модулем Юнга) та модулем жорсткості G за такою формулою:

Значення співвідношення Пуассона для матеріалів

Малюнок 2. Нержавіюча сталь має відношення Пуассона між 0,30 і 0,31. Джерело: Pixabay.

Приклади розрахунків

Приклад 1

Пруток з певного пластикового матеріалу має довжину 150 мм і круглий перетин діаметром 20 мм. При дії сили стиску F 612,25 кг-ф спостерігається вкорочення на 14 мм і одночасне збільшення діаметра бруска на 0,85 мм.

Обчисліть:

а) Поздовжнє напруження.

б) Поперечний штам.

c) Співвідношення Пуассона цього матеріалу.

г) Модуль Юнга, пружність якого відповідає матеріалу.

д) Модуль жорсткості для цього пластику.

Рішення для

Нагадаємо, що поздовжній штам εL - розтяг, розділений на початкову довжину:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 мм) / 150 мм = -0,0933

Зауважимо, що поздовжній штам є безрозмірним, і в цьому випадку він був негативним, оскільки відбулося зменшення його поздовжнього розміру.

Рішення b

Аналогічно, поперечна деформація εT - радіальна конусність, поділена на вихідний діаметр:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 мм) / 20 мм = 0,0425

Поперечна деформація була позитивною, оскільки відбулося збільшення діаметра бруска.

Розв’язання c

Для обчислення коефіцієнта Пуассона необхідно пам'ятати, що він визначається як від'ємний коефіцієнт між поперечною деформацією і поздовжньою деформацією:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Слід пам’ятати, що коефіцієнт Пуассона - це додатне безрозмірне число, і для більшості матеріалів воно становить від 0 до 0,5.

Рішення d

Модуль Юнга пружності, позначений буквою Е, є константою пропорційності в законі Гука. За E нормальна напруга σL пов'язана з деформацією εL наступним чином:

σL = E εL

Нормальне напруження визначається як коефіцієнт між нормальною силою (в даному випадку паралельною осі штанги) і площею поперечного перерізу:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

У цій вправі сила F становить 612,25 кг-ф, яку необхідно перетворити на ньютони, що є одиницею сили СІ:

F = 612,25 кг-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 Н = 6 кН

Зі свого боку поперечний переріз площі А становить:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 м) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 м ^ 2

Нарешті, нормальне напруження, застосоване до планки:

σL = F / A = 6000 Н / 3.1416 * 10 ^ -4 м ^ 2 = 19.098.593 Па = 19.098 МПа

Для обчислення модуля Юнга пружності вирішуємо для E із закону Гука σL = E εL:

E = σL / εL = 19,098,593 Па / 0,0933 = 204,7 МПа

Рішення e

Модуль жорсткості G за цією формулою пов'язаний з модулем Юнга Е та коефіцієнтом Пуассона ν:

E / (2 G) = 1 + ν

Звідти ми можемо вирішити для G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 МПа / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 МПа

Приклад 2

Є мідний кабель діаметром 4 мм і довжиною 1 м. Знаючи, що модуль Янга міді становить 110 000 МПа і що його коефіцієнт Пуассона становить 0,34, оцініть розтягнення і звуження в діаметрі, яке зазнає дріт, коли на нього вішається вага 100 кг-ф.

Рішення

По-перше, слід обчислити нормальну напругу при розтягуванні, яку вагу чинить на дріт, дотримуючись цієї формули:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Сила F дорівнює 980 Н, а площа поперечного перерізу дорівнює:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 м) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 м ^ 2

Тоді напруга при розтягуванні:

σL = 980 Н / 1,2566 * 10 ^ -5 м ^ 2 = 77,986,000 Па

Розрахунок деформації дроту

Модуль Юнга пружності, позначений буквою Е, - константа пропорційності в законі Гука, яка пов'язує нормальне напруження σL з деформацією εL:

σL = E εL

Звідти можна вирішити поздовжнє деформацію мідного дроту:

εL = σL / E = 77,986 МПа / 110000 МПа = 7,09 * 10 ^ -4

Розрахунок поперечного деформації

З іншого боку, щоб знати поперечну деформацію, застосовується відношення Пуассона:

ν = - εT / εL

Нарешті, поперечна деформація:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Розрахунок абсолютної протяжності кабелю

Нарешті, щоб знати абсолютну розтяжність кабелю, слід застосувати наступне співвідношення:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 м = 7,09 * 10 ^ -4 м = 0,709 мм

Тобто, з такою вагою кабель ледь розтягнувся на 0,779 міліметра.

Розрахунок зменшення діаметра

Для отримання абсолютної усадки в діаметрі використовується наступна формула:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 мм = -9,64 * 10 ^ -4 мм = -0,000964 міліметрів.

Це звуження в діаметрі настільки мало, що його важко побачити неозброєним оком, навіть для його вимірювання потрібен прилад високої точності.

Список літератури

1. Пиво F .. Механіка матеріалів. 5-й. Видання. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Хіббелер Р. Механіка матеріалів. Восьме видання. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Гере Дж. Механіка матеріалів. Восьме видання. Cengage Learning. 4-220.
4. Джанколі, Д. 2006. Фізика: принципи застосування. 6-й зал Ред. 238-242.
5. Валера Негрете, Дж. 2005. Записки з загальної фізики. УНАМ. 87-98.