БІБЕКТИВНА ФУНКЦІЯ: ЩО ЦЕ ТАКЕ, ЯК ЦЕ РОБИТЬСЯ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Биективное функція є один , який відповідає подвійному станом буття ін'єкційних і сюр'ектівно . Тобто всі елементи домену мають одне зображення в кодоміні, а в свою чергу кодомайна дорівнює рангу функції ( R _f ).

Він виконується розглядаючи взаємозв'язок між елементами домену та кодоменом. Простий приклад - функція F: R → R, визначена лінією F (x) = x

Джерело: Автор

Помічено, що для кожного значення домену або стартового набору (обидва терміни застосовуються однаково) є одне зображення в наборі кодоменів або вхідних даних. Крім того, немає жодного елемента кодомайна, крім зображення.

Таким чином F: R → R, визначений лінією F (x) = x, є бієктивним

Як виконувати бієктивну функцію?

Для того, щоб відповісти на цей питання , необхідно мати чітке уявлення про поняття , пов'язаних з ін'єкційних і Overjectivity функції , а також критерії до функцій умов для того , щоб адаптувати їх до вимог.

Інжективність функції

Функція є ін'єкційною, коли кожен з елементів її домену пов'язаний з одним елементом кодомена. Елементом кодомена може бути лише зображення одного елемента домену, таким чином значення залежної змінної неможливо повторити.

Щоб вважати функцію ін’єктивною , необхідно виконати наступне:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Surjectivity функції

Функція класифікується як сюрєктивна, якщо кожен елемент її кодоміни є зображенням принаймні одного елемента домену.

Щоб вважати функцію сюжективною , слід виконати:

Нехай F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Це алгебраїчний спосіб встановити, що для кожного "b", що належить C _f, існує "a", що належить D _f таким чином, що функція, оцінена в "a", дорівнює "b".

Функціонування кондиціонування

Іноді функція, яка не є бієктивною, може бути піддана певним умовам. Ці нові умови можуть зробити це біективною функцією. Усі види модифікацій домену та кодоменії функції є дійсними, де мета полягає у виконанні властивостей інжекційності та сур'єктивності у відповідному співвідношенні.

Приклади: розв’язані вправи

Вправа 1

Нехай функція F: R → R визначається прямим F (x) = 5x +1

A:

Помічено, що для кожного значення домену є зображення в кодомейн. Це зображення є унікальним , що робить F ін'єкційних функцією . Таким же чином ми спостерігаємо, що кодомайна функції дорівнює її рангу. Таким чином виконуючи умову сюрєктивності .

Будучи одночасно ін’єкційним та сур'єктивним, ми можемо зробити такий висновок

F: R → R, визначена лінією F (x) = 5x +1, - бієктивна функція.

Це стосується всіх лінійних функцій (Функцій, найвища ступінь змінної яких - одна).

Вправа 2

Нехай функцію F: R → R визначають через F (x) = 3x ² - 2

Малюючи горизонтальну лінію, ми помічаємо, що графік знаходимо не один раз. Завдяки цьому функція F не є ін'єкційною, і тому вона не буде біективною , доки вона визначена в R → R

Так само існують значення кодомена, які не є зображеннями жодного елемента домену. Завдяки цьому функція не є сюжетною, що також заслуговує на умову встановлення приходу.

Переходимо до умови домену та кодоменії функції

F: →

Там, де спостерігається, що новий домен охоплює значення від нуля до позитивної нескінченності. Уникання повторення значень, що впливають на ін’єктивність.

Аналогічно, кодомен був модифікований, рахуючи від "-2" до позитивної нескінченності, виключаючи з кодомена значення, які не відповідали жодному елементу домену

Таким чином можна переконатися, що F : → визначено F (x) = 3x ² - 2

Він бієктивний

Вправа 3

Нехай функція F: R → R визначається через F (x) = Sen (x)

У проміжку синусоїда змінює результати між нулем і одиницею.

Джерело: Автор.

Функція F не відповідає критеріям інжекційності та сюрєктивності, оскільки значення залежної змінної повторюються через кожен інтервал π. Крім того, терміни кодоміну поза інтервалом не є зображенням жодного елемента домену.

При вивченні графіка функції F (x) = Sen (x) спостерігаються інтервали, де поведінка кривої відповідає критеріям бієктивності . Наприклад, інтервал D _f = для домену. І C _f = для кодомена.

Якщо функція змінюється, це результат від 1 до -1, не повторюючи значення в залежній змінній. І в той же час кодомен дорівнює величинам, прийнятим виразом Sen (x)

Таким чином, функція F: → визначається F (x) = Sen (x). Він бієктивний

Вправа 4

Укажіть необхідні умови для D _f та C _f . Отже вираз

F (x) = -x ² бути біективним.

Джерело: Автор

Повторення результатів спостерігається, коли змінна приймає протилежні значення:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Домен обумовлений, обмежуючи його правою частиною реальної лінії.

D _f =

Таким же чином спостерігається, що діапазон цієї функції - це інтервал, який при дії кодомейна виконує умови сюрєктивності.

Таким чином можна зробити такий висновок

Вираз F: → визначений F (x) = -x ² Це бієктивний характер

Запропоновані вправи

Перевірте, чи є такі функції бієктивними:

F: → R, визначений F (x) = 5ctg (x)

F: → R, визначений F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R, визначений лінією F (x) = -5x + 4

Список літератури

1. Вступ до логіки та критичного мислення. Merrilee H. Salmon. Університет Пітсбурга
2. Проблеми математичного аналізу. Пьотр Білер, Альфред Вітковський. Університет Вроцлава. Польща.
3. Елементи абстрактного аналізу. Мічел О'Серкоїд, кандидат наук. Кафедра математики. Університетський коледж Дубліна, Beldfield, Dublind 4
4. Вступ до логіки та методології дедуктивних наук. Альфред Тарскі, Нью-Йорк Оксфорд. Оксфордська університетська преса.
5. Принципи математичного аналізу. Енріке Лінеш Ескардо. Редакція Reverté S. A 1991. Барселона, Іспанія.