- Які розміри?
- Тривимірний простір
- Четвертий вимір і час
- Координати гіперкуба
- Розгортання гіперкуба
- Список літератури
Гіперкуба є кубом розмірності п. Конкретний випадок чотиривимірного гіперкуба називається тессеракт. Гіперкуб або n-куб складається з прямих відрізків, всі однакової довжини, ортогональні у своїх вершинах.
Людина сприймає тривимірний простір: ширину, висоту та глибину, але нам неможливо візуалізувати гіперкуб із розміром, більшим за 3.
Малюнок 1. 0-куб - це точка, якщо ця точка простягається в напрямку відстані a утворює 1-куб, якщо цей 1-куб розширює відстань a в ортогональному напрямку, ми маємо 2-куб (від сторони х до а), якщо 2-куб простягає відстань a в ортогональному напрямку, ми маємо 3-куб. Джерело: Ф. Сапата.
Максимум, ми можемо робити його проекції в тривимірному просторі, щоб представити його, аналогічно тому, як ми проектуємо куб на площину, щоб представити його.
У вимірі 0 єдина точка - точка, тому 0-куб - це точка. 1-куб - це прямий відрізок, який утворюється переміщенням точки в одну сторону на відстань a.
Зі свого боку, 2-куб - це квадрат. Він побудований шляхом зміщення 1-куба (відрізка довжини a) у напрямку y, ортогональному напрямку x, на відстань a.
3-куб - це звичайний куб. Він побудований з квадрата, переміщуючи його в третьому напрямку (z), ортогональному напрямку x і y, на відстань a.
Малюнок 2. 4-куб (тессеракт) - це розширення 3-куба в ортогональному напрямку до трьох умовних просторових напрямків. Джерело: Ф. Сапата.
4-куб - це тессеракт, який побудований з 3-куба, що переміщує його ортогонально, на відстань a, до четвертого виміру (або четвертого напрямку), який ми не можемо сприймати.
Тессеракт має всі свої прямі кути, у нього 16 вершин, а всі його ребра (18 всього) мають однакову довжину a.
Якщо довжина ребер n-куба або гіперкуба розмірності n дорівнює 1, то це одинична гіперкуба, в якій найдовша діагональ вимірюється √n.
Малюнок 3. n-куб отримують з (n-1) -куби, що продовжує його ортогонально в наступному вимірі. Джерело: wikimedia commons.
Які розміри?
Розміри - це ступеня свободи, або можливі напрямки, в яких об’єкт може рухатися.
У вимірі 0 немає можливості перекладати, і єдиним можливим геометричним об'єктом є точка.
Розмір в евклідовому просторі представлений орієнтованою лінією або віссю, яка визначає цей розмір, який називається віссю X. Розмежування між двома точками A і B - евклідова відстань:
d = √.
У двох вимірах простір представлений двома лініями, орієнтованими ортогональними одна до одної, які називаються віссю X і віссю Y.
Положення будь-якої точки в цьому двовимірному просторі задається його парою декартових координат (x, y), і відстань між будь-якими двома точками A і B буде:
d = √
Тому що це простір, де виконується геометрія Евкліда.
Тривимірний простір
Тривимірний простір - це простір, в якому ми рухаємося. Він має три напрямки: ширина, висота та глибина.
У порожній кімнаті перпендикулярні кути дають ці три вказівки і до кожного ми можемо пов’язати вісь: X, Y, Z.
Цей простір також є евклідовим, а відстань між двома точками А і В обчислюється так:
d = √
Людина не може сприймати більше трьох просторових (або евклідових) вимірів.
Однак зі строго математичної точки зору можна визначити n-мірний евклідовий простір.
У цьому просторі точка має координати: (x1, x2, x3,… .., xn), а відстань між двома точками дорівнює:
d = √.
Четвертий вимір і час
Дійсно, в теорії відносності час трактується як ще один вимір і з ним пов'язана координата.
Але треба уточнити, що ця координата, пов'язана з часом, є уявним числом. Тому поділ двох точок або подій у просторі-часі не є евклідовим, а скоріше слідує метриці Лоренца.
Чотиривимірний гіперкуб (тессеракт) не живе в просторі-часі, він належить до чотиривимірного евклідового гіперпростору.
Малюнок 4. 3D-проекція чотиривимірного гіперкуба в простому обертанні навколо площини, яка ділить фігуру спереду наліво, спиною праворуч і зверху вниз. Джерело: Wikimedia Commons.
Координати гіперкуба
Координати вершин n-куба, орієнтованих у центрі початку, отримують, виконавши всі можливі перестановки наступного виразу:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Де а - довжина ребра.
-The обсяг з п-куба ребра а є: (а / 2) п (2 л ) = а п .
-Найдовша діагональ - це відстань між протилежними вершинами.
-В квадраті розташовані протилежні вершини : (-1, -1) і (+1, +1).
-І в кубі : (-1, -1, -1) і (+1, +1, +1).
- Найдовша діагональ n-куба вимірює:
d = √ = √ = 2√n
У цьому випадку сторона вважалася a = 2. Для n-куба сторони до будь-якого це буде:
d = a√n.
-Тессеракт має кожну з своїх 16 вершин, з'єднаних чотирма ребрами. На наступному малюнку показано, як вершини з'єднані в тесеракт.
Малюнок 5. Показано 16 вершин чотиривимірного гіперкуба та спосіб їх з'єднання. Джерело: Wikimedia Commons.
Розгортання гіперкуба
Звичайну геометричну фігуру, наприклад багатогранник, можна розгорнути на кілька фігур меншої розмірності.
У випадку 2-куба (квадрата) його можна розділити на чотири сегменти, тобто чотири 1-куба.
Аналогічно 3-куб можна розкласти на шість 2-кубів.
Малюнок 6. n-куб можна розкласти на кілька (n-1) -кубів. Джерело: Wikimedia Commons.
4-куб (тессеракт) можна розкласти на вісім 3-кубів.
Наступна анімація показує розгортання тессеракти.
Малюнок 7. 4-мірний гіперкуб можна розгорнути на вісім тривимірних кубів. Джерело: Wikimedia Commons.
Малюнок 8. Тривимірна проекція чотиривимірного гіперкуба, що виконує подвійне обертання навколо двох ортогональних площин. Джерело: Wikimedia Commons.
Список літератури
- Наукова культура. Гіперкуба, візуалізуючи четвертий вимір. Відновлено з: culturacientifica.com
- Епсілони. Чотиривимірний гіперкуб або тессеракт. Відновлено з: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Спосіб отримання тессеракту від розвитку гіперкуба (4D). Відновлено з: researchgate.net
- Вікікниги. Математика, багатогранники, гіперкуби. Відновлено з: es.wikibooks.org
- Вікіпедія. Гіперкуба. Відновлено з: en.wikipedia.com
- Вікіпедія. Тессеракт. Відновлено з: en.wikipedia.com